I ПРОГРАМА КУРСУ

ВСтуп

Виникнення теорії ймовірностей у сучасному змісті слова відноситься до середини XVII століття і зв’язано з дослідженнями Тарталья, Кардана, Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Декарта в області теорії азартних ігор. На початку XVIII століття Я. Бернуллі була відкрита теорема, що тепер носить його ім’я і є однією з центральних теорем теорії ймовірностей; теорема, яку по справедливості вважають початком теорії ймовірностей (закон великих чисел).

У Росії перші дослідження з теорії ймовірностей були виконані в середині ХІХ століття. Вони зв’язані з іменами видатних російських вчених-математиків М.І. Лобачевського (1792-1856), М.В. Остроградського (1801-1861) і В.Я. Буняковського (1804-1889). “Основи математичної теорії ймовірностей” (1846) В.Я. Буняковського мали велике значення для ознайомлення російських математиків з цією теорією, тому що це був перший фундаментальний посібник з теорії ймовірностей, виданий у Росії. У цій роботі В.Я. Буняковский, поряд з викладом самої теорії ймовірностей освітив питання її практичного застосування, дав термінологію нової науки російською мовою. Це було зроблено настільки вдало, що вона дотепер не піддалася істотним змінам. Завдяки працям В.Я. Буняковського викладання теорії ймовірностей у російських університетах стало набагато ширше і глибше, ніж у закордонних.

В другій половині ХІХ сторіччя з’являється цілий ряд блискучих відкриттів російських математиків. Після робіт видатного російського математика і механіка П.Л. Чебишева (1821-1894) і його учнів А.М. Ляпунова (1857-1918) і А.А. Маркова (1856-1922) в усьому світі теорію ймовірностей стали називати російською наукою.

Ці чудові традиції були продовжені і сучасними вченими. Роботи С.М. Бернштейна (1880-1968) вплинули на подальше поширення теорії ймовірностей у нашій країні. А.Я. Хінчін (1894-1959) відомий своїми дослідженнями в області узагальнення і посилення закону великих чисел, в області так званих стаціонарних випадкових процесів. Вирішальне значення мала робота А.М. Колмогорова “Основні поняття теорії ймовірностей” (1933), що знаменувала собою початок нового історичного етапу в розвитку цієї науки.

Зараз, мабуть, не має області знання, у якій не використовувалися б методи теорії ймовірностей. Застосування ймовірносно-статистичних методів стало традиційним у багатьох науках. До них відносяться фізика, геодезія, військова наука, теорія вимірів, медицина, лінгвістика і багато інших. Крім того на основі ймовірносних методів з’явився цілий ряд нових наук, що відокремилися від теорії ймовірностей. Це теорія інформації, теорія надійності, статистичний контроль якості, планування експерименту та інші.

Теорія ймовірностей – наука, що вивчає закономірності однорідних масових випадкових явищ з їх кількісної сторони.

Випадковим називають таке явище, яке при багаторазовому відтворенні того ж самого випробування протікає неоднаково. Наприклад, одне і теж тіло зважується на аналітичних вагах; результати повторних зважувань трохи відрізняються одне від одного. Ці розходження обумовлені багатьма факторами, що супроводжують операцію зважування, такими як положення тіла на чашці ваг, помилки відліку показань приладу, вібрація апарата тощо.

Випадкові відхилення неминуче супроводжують будь-яке закономірне явище. Проте, у ряді практичних задач цими випадковими елементами можна зневажити, розглядаючи замість реального явища його спрощену модель. При цьому з нескінченної безлічі факторів, що впливають на явище, виділяють найголовніші.

Які ж існують шляхи і методи для дослідження випадкових явищ? Очевидно, що повинна існувати принципова різниця в методах обліку основних факторів розглянутого явища і другорядних факторів, що впливають на явища як похибка. Методи, що враховують елемент невизначеності, складності, багатопричинності, які властиві випадковим явищам, розробляються в теорії ймовірностей. Її предметом є специфічні закономірності, що спостерігаються у випадкових процесах. Практика показує, що, спостерігаючи однорідні випадкові явища, ми виявляємо цілком визначені закономірності, свого роду сталість. Наприклад, при багаторазовому підкиданні монети частота появи герба наближається до 0,5.

Методи теорії ймовірностей за своєю природою призначені тільки для дослідження масових випадкових явищ; вони не дають можливості прогнозувати результат окремого випадкового явища, але дають можливість передбачати середній сумарний результат маси однорідних випадкових явищ, прогнозувати середній результат маси аналогічних досвідів, конкретний результат кожного з яких залишається випадковим. Чим більша кількість однорідних випадкових явищ бере участь у задачі, тим певніше виявляються властиві їм специфічні закони, тим з більшою впевненістю і точністю можна здійснювати науковий прогноз. Ймовірносний чи статистичний метод у науці не протиставляє себе класичному методу точних наук, а є його доповненням, що дозволяє глибше аналізувати явище з обліком властивих йому елементів випадковості.

1. Елементи комбінаторного аналізу. Принципи множення і додавання. Перестановки, розміщення і сполучення.

2. Випадкові події та їх класифікація. Класичне, статистичне і геометричне визначення ймовірності. Обмеженість класичного визначення ймовірності. Безпосереднє обчислення ймовірностей при скінченному числі рівноможливих випадків.

3. Теореми додавання ймовірностей. Залежні і незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формули Бейєса.

4. Повторні незалежні випробування.

4.1. Схема повторних випробувань Бернуллі. Точна формула Бернуллі. Найімовірніше число появ події.

4.2. Формула рідких подій Пуассона.

4.3. Асимптотична формула біноміального розподілу (локальна теорема Лапласа). Інтегральна теорема Лапласа. Наслідок інтегральної теореми Лапласа.

5. Випадкові величини та їх числові характеристики.

5.1. Дискретні і неперервні випадкові величини. Ряд розподілу і багатокутник розподілу ймовірностей випадкової величини.

5.2. Функція розподілу і густина розподілу (інтегральна і диференціальна функції розподілу) випадкової величини, їх властивості і графіки. Ймовірність потрапляння випадкової величини в заданий інтервал.

5.3. Характеристики випадкової величини: математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення; їх властивості.

5.4. Біноміальний закон розподілу ймовірностей. Закон розподілу Пуассона.

5.5. Рівномірний і показниковий (експоненціальний) розподіли.

5.6. Нормальний закон розподілу і крива Гаусса. Ймовірність заданого відхилення. Правило трьох сигм.

5.7. Дії над незалежними випадковими величинами. Складання законів розподілу і знаходження характеристик суми, різниці, добутку незалежних випадкових величин.

6. Закон великих чисел.

6.1. Оцінки відхилень випадкової величини від її математичного сподівання. Теорема Бернуллі.

6.2. Нерівність і теорема Чебишева.

6.3. Поняття про теорему Ляпунова.

7. Основні відомості з математичної статистики.

7.1. Генеральна і вибіркова сукупності. Варіаційний ряд. Дискретний та інтервальний статистичний розподіли. Частоти, відносні і накопичені частоти. Графічне зображення статистичного розподілу вибірки: полігон, гістограма, кумулятивна крива.

7.2. Емпірична функція розподілу і її графік.

7.3. Характеристики статистичного розподілу вибірки: вибіркове середнє, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, мода і медіана.

8. Знаходження параметрів розподілу по вибірковим даним для нормального розподілу і розподілу Пуассона. Поняття про критерії згоди. Критерії згоди Пірсона, Колмогорова, Ястремського, Романовського.

9. Елементи теорії кореляції.

9.1. Функціональна і статистична залежності. Умовне середнє. Кореляційна залежність ознак. Рівняння регресії.

9.2. Метод найменших квадратів знаходження параметрів рівняння прямої лінії регресії по несгрупованим даним.

9.3. Коефіцієнт кореляції.

9.4. Кореляційна таблиця. Знаходження кореляційного зв’язку між змінними у виді рівняння прямої лінії регресії по згрупованим даним.

9.5. Найпростіші випадки криволінійної кореляції. Кореляційне відношення.

9.6. Поняття про множинну кореляцію.