БАГАТОГРАННИКИ 1 страница

Точка

Теоретичною основою побудови технічних зображень є метод проекцій, який дає змогу діставати зображення просторових фігур на площині чи поверхні.

На рис.1.1 зображений приклад центрального проекціювання точок. Якщо взяти довільну точку S і сполучити її з іншими точками, то дістанемо в’язку прямих.

S – центр проекціювання;

SA, SB, SC – проекціювальні проміні;

П΄ - площина проекцій;

A, B, C - точки;

A’, B’, C’ - проекції точок на П΄

Рисунок 1.1 – Просторова модель

системи центрального проекціювання

Якщо проекціювальні промені спрямувати у одному відповідному напрямку то дістанемо метод паралельного проекціювання (рис.1.2). Паралельне проекціювання може бути прямокутним (ортогональним) або косокутним.

АA’, BB’, CC’ - проекціювальні

промені;

П΄ - площина проекцій;

A, B, C - точки;

A’, B’, C’ - проекції точок на

площину П΄.

Рисунок 1.2 – Просторова модель

системи паралельного проекціювання

Залежно від положення площин проекцій та центрів проекціювання можна діставати різні проекційно-зображувальні системи. Найбільш поширеною є система прямокутних ортогональних проекцій або метод Монжа. За цим методом обираються площини, які перпендикулярні одна до одної (рис. 1.3, а).

а) б)

в)

Рисунок 1.3 – Перетворення просторової моделі системи площин проекцій в проекційне креслення: а) просторова модель; б) проміжний етап трансформації; в) проекційне креслення.

Якщо горизонтальну площину проекцій, обернути навколо осі Х проти часової стрілки на 90⁰, а профільну площину проекцій так саме навколо осі Z (рис. 1.3, б), то отримаємо плоске зображення проекцій точки А (рис.1.3, в). Таке зображення має назву проекційного креслення або епюра Монжа.

Горизонтальна і фронтальна площини проекцій поділяють простір на чотири октанти. На рисунках 1.4, 1.5 показані приклади проекцій точок, що розташовані в різних октантах.

Рисунок 1.4 – Просторова модель системи площин проекцій з чотирьох октантів

Рисунок 1.5 – Проекційне креслення точок розташованих в чотирьох октантах простору

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №1

Записати координати точок А, В, С:

А(…, …, …);

В(…, …, …);

С(…, …, …).

Задача №2

Побудувати епюри точок А і В. Проаналізувати їх положення відносно площини Π₁.

Задача №3

Побудувати епюри точок за заданими в таблиці 1.1 значеннями координат.

Таблиця 1.1

	A	B	C	D	E	F	G
X
Y
Z

Задача №4

За двома заданими проекціями точок побудувати їх треті проекції.

Задача №5

Визначити положення горизонтальної

осі проекцій ОХ.

Задача №6

Побудувати горизонтальні проек-ції точок K і L за умови, що точка К знаходиться на відстані 25 мм від площини проекцій Π₁, а точка L належить до площини проекцій Π_1.

Задача №7

Для наданого рисунка:

а) побудувати епюри точок зображених на просторовій моделі системи площин проекцій;

б) записати координати побудованих точок;

в) знайти точки(у), найбільш віддалені від площини проекцій Π₁;

г) знайти точки(у), найбільш віддалені від площини проекцій Π₂;

д) знайти точки(у), найбільш віддалені від площини проекцій Π₃;

е) визначити, чи є точки, що рівновіддалені від однієї площини проекцій.

1.2 Пряма. Взаємне положення прямих

Відомо, що пряма лінія ℓ в просторі визначається положенням двох її точок, наприклад А і В, які показані на рис. 1.5. Це означає, що достатньо виконати комплексне креслення вказаних точок, з’єднати однойменні проекції точок прямими лініями та отримати відповідно горизонтальну А1В1, фронтальну А2В2, профільну А3В3 проекції прямої, заданої відрізком AB ( див. рис.1.5).

Рисунок 1.5 – Утворення прямокутних

проекцій прямої лінії

Відносно площин проекцій пряма може займати різне положення. Пряма, яка не паралельна жодній з площин проекцій має назву прямої загального положення. Комплексне креслення такої прямої показано на рис. 1.6.

Пряму, паралельну одній з площин проекцій, називають прямою рівня. Пряму, перпендикулярну одній з площин проекцій, називають проекціювальною прямою.

Рисунок 1.6 - Комплексне креслення

прямої загального положення

Точки, в яких пряма перетинає площини проекцій, називають слідами. На рис. 1.7 показано пряму загального положення, яка утворена двома точками N і M, кожна з яких належить відповідній площині проекцій. Тому сліди прямої лінії можна розглядати як точки, які одночасно належать прямій та площині проекцій.

Рисунок 1.7 - Сліди прямої загального положення

Пряма загального положення перетинає три площини проекцій, тому має три сліди.

Пряма рівня перетинає дві площини проекцій. На рис. 1.8 показано побудову слідів горизонтальної прямої АВ. Точка M (M1,M2) – фронтальний слід прямої, точка N (N1,N3)- профільний слід прямої.

Рисунок 1.8 - Сліди прямої рівня

Проекціювальна пряма перетинає одну площину проекцій. На рис.1.9 показано побудову сліду фронтально-проекціювальної прямої АВ. Точка M (M1,M2) – фронтальний слід прямої АВ, або точка, яка одночасно належить площині проекції Π2 та прямій.

Рисунок 1.9 - Слід проекціювальної прямої

Дві прямі в просторі можуть перетинатись, бути паралельними та мимобіжними.

Якщо дві прямі a і b перетинаються в деякій точці А (показано на рис. 1.10), то проекції цієї точки повинні належати однойменним проекціям прямих, тобто точки перетину однойменних проекцій прямих, що перетинаються, повинні належати одній лінії зв’язку А1А2.

Рисунок 1.10 - Утворення прямокутних

проекцій прямих, що перетинаються

Якщо дві прямі a і b паралельні ( показано на рис. 1.11), то на комплексному кресленні їх однойменні проекції також паралельні a2//b2, a1//b1.

Рисунок 1.11 - Утворення прямокутних проекцій паралельних прямих

Якщо дві прямі a і b мимобіжні, то на комплексному кресленні їх однойменні проекції перетинаються в точках, що не належать одній лінії зв’язку. На рис. 1.12 горизонтальні проекції прямих а1 і b1 перетинаються в точці А1=В1, яка відповідає горизонтальній проекції двох конкуруючих відносно площини проекцій Π1 точок А і В, а фронтальні проекції прямих а2 і b2 перетинаються в точці C2=D2, яка відповідає фронтальній проекції двох конкуруючих відносно площини проекцій Π2 точок C і D.

Рисунок 1.12 - Утворення прямокутних

проекцій мимобіжних прямих

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №8

Побудувати проекції відрізків прямих АВ, CD, …, ST за заданими координатами вершин. Визначити положення прямих відносно системи площин проекцій.

Відрізок	X	Y	Z
AB	A
B
CD	C
D
EF	E
F
KL	K
L
MN	M
N
PR	P
R
ST	S
T

Приклад розв’язування :

1-й крок 2-й крок

3-й крок

Прямокутні проекції відрізка АВ утворені шляхом сполучення побудованих на попередніх кроках однойменних прямокутних проекцій його окремих точок.

Задача №9

Визначити на заданих прямих точку М, що належить площині проекцій Π1, та точку N, що належить площині проекцій Π2.

а) б) в)

Приклад типового розв’язування:

Прямокутні проекції М1 і М2 шуканої точки M визначені за умови їх належності однойменним проекціям прямої f та урахуванням нульового значення координати Z.

Задача №10

Побудувати прямокутні проекції прямих ℓ і m, які перетинаються в т. А. Пряма ℓ - фронталь, пряма m – профільна пряма.

Задача №11

Прямі h (горизонталь) та ℓ (загального положення) перетинаються під кутом 90°. Побудувати прямокутні проекції прямих.

Задача №12

Побудувати проекції прямої m, яка проходить через т. А та паралельна прямій ℓ. Побудувати проекції горизонталі h, яка перетинає лінію ℓ.

Задача №13

Через точку В провести пряму ℓ, мимобіжну відносно прямої a. Пряма ℓ повинна проходити над прямою a.

Задача №14

Побудувати проекції фронталі f, яка знаходиться на відстані 20 мм від площини проекцій Π2 і перетинає задані паралельні прямі.

Задача №15

Побудувати проекції Δ ACB, якщо:

- CM – висота рівнобедреного трикутника ;

- точка А – належить площині проекцій Π1;

- точка В – належить площині проекцій Π2

Задача №16

Через точку М провести пряму b, яка перетинає пряму a та вісь OZ.

Задача №17

За заданими слідами A і P прямої m побудувати її проекції.

1.3 Площина. Точка і лінія в площині

Будь-яку площину визначають: 1) три точки, що не належать одній прямій; 2) пряма і точка, що не належить прямій; 3) дві прямі, що перетинаються; 4) дві паралельні прямі; 5) будь-який відсік площини, наприклад у вигляді трикутника.

На комплексному кресленні площини задають за допомогою відповідних проекцій геометричних фігур, що визначають площину.

Відносно площин проекцій площина може займати: 1) загальне положення – не перпендикулярне жодній з площин проекцій; 2) положення рівня – паралельне одній площини проекцій; 3) проекцію вальне положення – перпендикулярне до однієї площини проекцій.

Послідовність утворення прямокутних проекцій площини загального положення, яка визначена трикутником ABC, показана на рис. 1.13, а,б,в.

а)

в)

б)

Рисунок 1.13 - Прямокутні проекції площини загального положення

Пряма, належить площині за умови належності її будь-яких двох точок такій площині. На рис. 1.14,а показана площина, яка визначена двома прямими a і b, та пряма ℓ. Спільними точками між площиною та прямою є точки 1 і 2. На комплексному кресленні проекції прямої, що належить заданій площині, обов’язково проходять через відповідні проекції точок, яки також належать площині:ℓ(12)→[ ℓ1(1121), ℓ2(1222)] (див. рис. 1.14,б).

а)

б)

Рисунок 1.14 - Побудова лінії в площині загального положення

Точка належить площині, якщо вона належить будь-який прямій в заданій площині. На рис. 1.15, а,б,в показана площина, визначена трикутником ABC, та побудова проекцій точки D в площині за допомогою допоміжної прямої ℓ(А1)→[ ℓ1(А111), ℓ2(А212)]

а)

б) в)

Рисунок 1.15 - Побудова проекцій точки, яка належить площині

Задачі для самостійного розв’язування

Задача №18

Визначити положення площин. Записати в символьній формі їх позначення.

а) б) в) г) д)

Задача №19

Побудувати лінії рівня в заданих площинах.

а) б) в)

г) д) е)

Задача №20

Побудувати відсутні проекції точок за умови їх належності заданим площинам.

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

Задача №21

Побудувати фронтальну проекцію ∆ABC, яка належить площині α(fº∩h°).

Задача №22

а) Визначити графічно чи належить пряма m площині α;

б) Визначити графічно чи паралельна площина α(p∩f) прямій k.

а) б)

Задача №23

а) Взяти пряму m в фронтально-проекціювальну площину;

б) Взяти пряму h в горизонтальну площину;

в) Взяти пряму l в горизонтально-проекціювальну площину.

а) б) в)

1.4 Контрольний тест до інформаційного модуля 1

1. Скільки і які координати визначають положення точки відносно системи площин проекцій Π₁, Π₂, Π₃ ?

а) три (координати по вісі абсцис, ординат, аплікат);

б) дві (координати по вісі абсцис і ординат);

в) одна (координата по вісі аплікат).

2. Скільки і які проекції точки визначають її положення відносно системи площин проекцій Π₁, Π₂, Π₃ ?

а) три (горизонтальна, фронтальна і профільна);

б) дві (горизонтальна і фронтальна);

в) дві (фронтальна і профільна);

г) одна (горизонтальна).

3. Які точки називають конкуруючими відносно площини проекцій Π₁?

а) точки А і В;

б) точки В і С;

в) точки А і С.

4. Які координати точки дорівнюють нулю, якщо вона належить площині Π₃?

а) координата по вісі абсцис OX;

б) координата по вісі ординат OY;

в) координата по вісі аплікат OZ.

5. Де знаходиться фронтальна проекція точки, яка належить до вісі ОХ?

а) на вісі абсцис ОХ ;

б) на фронтальній площині проекцій Π₂;

в) на вісі аплікат OZ.

6. Які з названих точок А(20; 20; 0); В(50; 20; 30); С(0; 20; 30) рівновіддаленні від площини проекцій Π₁?

а) точки А і В; б) точки А і С; в) точки В і С.

7. Які координати визначають горизонтальну проекцію точки?

а) координати по вісі абсцис ОХ, ординат OY, аплікат OZ;

б) координати по вісі абсцис ОХ і ординат OY;

в) координата по вісі аплікат OZ;

г) координата по вісі аплікат OZ і абсцис ОХ.

8. В якому октанті знаходиться точка А (20; -5; -10)?

а) в першому; б) в другому; в) в третьому; г) в четвертому.

9. Вкажіть, яке положення займає відрізок АВ:

а) загальне положення;

б) горизонтальне положення;

в) фронтальне положення.

10. Яке положення займає пряма h:

а) фронтально-проекціювальне;

б) горизонтально-проекціювальне;

в) горизонтальне.

11. Яке положення займає пряма m:

а) профільно-проекціювальне;

б) фронтальне;

в) горизонтальне.

12. Яку назву має точка А для відрізка АВ:

а) профільний слід;

б) фронтальний слід;

в) горизонтальний слід.

13. Яке взаємне положення займають прямі h і m:

а) положення паралельних прямих;

б) положення прямих, що перетинаються;

в) положення мимобіжних прямих.

а) б) в) г) д)

14. На якому рисунку задана фронтально-проекціювальна площина?

15. На якому рисунку задана горизонтальна площина?

16. На якому рисунку площина загального положення задана чотирикутним відсіком?

17. На якому рисунку площина загального положення задана слідами?

18. На якому рисунку задана точка К, яка належить площині?

19. На якому рисунку задана пряма, яка належить площині загального положення?

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 2

ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ НА ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ

2.1 Взаємне положення площин. Перша позиційна задача

Дві площини у просторі можуть перетинатися або бути паралельні.

Ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини, то площини паралельні між собою (рис.2.1).

Символьний запис:

(a || m; b || n) → α (a ∩ b) || β(m ∩ n)

Рисунок 2.1 – Приклад паралельних площин

Перша позиційна задача – задача пошуку лінії перетину двох площин. Основні випадки:

· обидві площини займають окреме положення;

· одна з площин займає окреме положення, а друга – загальне положення;

· обидві площини займають загальне положення.

В першому випадку побудова проста, оскільки проекції лінії перетину або збігаються із слідами площин або паралельні їм.

В другому випадку, якщо одна з площин займає окреме положення, то одна з проекцій лінії перетину збігається зі слідом цієї площини, а інша проекція лінії перетину визначається за умови належності до площини загального положення (рис.2.2, 2.3).

а) б)

Рисунок 2.2 – Приклад перетину горизонтальної площини α з площиною β, що задана трикутником

а) б)

Рисунок 2.3 – Приклад перетину горизонтальною площиною площини загального положення, що задана слідами

В третьому випадку для пошуку проекцій лінії перетину необхідно застосувати такий алгоритм (рис.2.4, 2.5).

Алгоритм розв’язування першої позиційної задачі:

1. Вводимо допоміжну площину окремого положення (α(α₂)).

2. Знаходимо лінію перетину введеної допоміжної площини з кожною із заданих площин (α ∩ β → ℓ ; α ∩ γ → m).

3. Знаходимо точку перетину ліній, що отримані в п.2 (ℓ ∩ m → К(К₁).

4. Визначаємо іншу проекцію знайденої точки К(К₂).

5. Повторюємо пп. 1-4 для другої допоміжної площини (σ(σ₂)).

6. З’єднуємо отримані точки (КN (К₁N₁, К₂N₂).

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 4 алгоритму)

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 6 алгоритму)

2.2 Взаємне положення прямої і площини. Друга позиційна задача.

Пряма у просторі може належити до площини, бути її параллельною або перетинати. Належність прямої до площини розглянуто в п.1.3.

Умова паралельності прямої та площини: якщо пряма параллельна будь-якій прямій площини, то вона параллельна всій площині (рис.2.6). Символьний запис: m║a → m║α(a∩b).