Исторический аспект.
Системы счисления.
Элементы информационных технологий
Под системой счисления понимается способ записи чисел с помощью цифр и символов (букв).
Исторически человечество наряду с созданием письменности разрабатывало также и способы записи чисел, требуемых для хранения данных о количестве предметов. В этом случае появляется возможность сравнивать количества различных множеств объектов.
Самой древней, пожалуй, системой счисления, является так называемая унарная система (или счетно-импульсная). Унарная система является однородной и непозиционной. Число в этой системе строится прибавлением единственного знака к предыдущему такому же числу:
I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII
Система позволяет представить любое, сколь угодно большое число. Однако представление чисел крайне неэффективно с точки зрения компактности.
Следующим этапом в развитии систем счисления является римская система. Она также относится к непозиционным системам. В римской системе сохраняются некоторые элементы унарной системы и в то же время предпринимаются меры к более компактному представлению числа путем замены совокупности элементарных цифр на определенные символы (иероглифы).
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII
Таким образом, в этой системе латинские буквы соответствуют следующим количествам:
L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000
Например:
2007 – MMVII, 444 – CDXLIV.
В этой системе очень трудно выполнять арифметические операции.
Дальнейшее развитие представления чисел привело к распространению позиционных систем счисления, в которых значение ("вес") цифры зависит от ее положения в числе.
Первой известной позиционной системой счисления была шестидесятеричная система у древних вавилонян, использующая клинопись. Так, число 32 они записывали: <<<VV, а число 92: V<<<VV.
Таким образом, основанием системой счисления называется количество цифр (назовем его q). Величина q показывает, во сколько раз возрастает вес цифры, если ее переместить в следующий разряд числа. Отметим, что данная система требует наличия цифры ноль.
Позиционная система является однородной в смысле применения правил построения числа независимо от места расположения текущей цифры.
Именно однородность позволяет конечным числом знаков (в десятичной системе – 10) выразить бесконечное количество чисел.
Рассмотрим более подробно десятичную систему счислению.
Она имеет 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Например, число 111.
Вес цифры изменяется в 10 раз: 100+10+1 = 111.
Поэтому в позиционной системе счисления любое число можно представить в виде следующего выражения:
Таким же образом можно представить и дробное число:
Например, число 16,37 можно представить в виде:
