ВВЕДЕННЯ В МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

Література: [1] – с. 212-277, [2] – с. 186-212, [4] – с. 131-190.

Нехай функція визначена в деякому – околі точки , окрім, можливо, самої точки .

Число називається границею функції в точці , якщо для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність .

Записують це так: .

Функція називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого додатного числа існує число , що при , записують це так:

Функція називається нескінченно малою при , якщо .

Теореми про границі функцій.

Якщо функції і мають скінченні границі при , тоді мають місце такі співвідношення:

;

;

;

; (2.1)

;

; ;

.

При знаходженні границі функції виконуються такі правила :

; ; ; ;

;

; . (2.2)

Важливі границі.

Для обчислення границі в багатьох випадках використовують:

– перша важлива границя; (2.3)

– друга важлива границя. (2.4)

Порівняння нескінченно малих функцій.

Якщо , тоді і є нескінченно малими функціями одного порядку. Якщо , то і – еквівалентні (позначають ~ ).

При знаходженні границі відношення двох заданих нескінченно малих функцій кожну з них (або тільки одну) можна замінити іншою нескінченно малою, яка еквівалентна заданій.

Таблиця еквівалентних функцій при :

(2.5)