Елементи лінійної алгебри

Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії

Передмова

Важливим фактором успішного засвоєння курсу вищої математики у вищому навчальному закладі є підвищення ефективності самостійної роботи студентів. Мета даного посібника – навчити студентів здійснювати самостійну пізнавальну діяльність при виконанні контрольних робіт.

Видання охоплює матеріал програми першого та другого семестрів дисципліни «Вища математика», призначене для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання. Посібник складається з семи параграфів, в яких викладені такі питання:

- елементи лінійної алгебри;

- елементи аналітичної геометрії;

- введення в математичний аналіз. Диференціальне числення функції однієї змінної;

- диференціальне числення функцій багатьох змінних;

- інтегральне числення функції однієї змінної;

- диференціальні рівняння;

- ряди.

Кожний параграф містить посилання на відповідну навчальну літературу з вказівками сторінок, короткі теоретичні відомості довідкового характеру – формулювання основних понять і теорем, приклади розв’язування основних типових задач, 20 варіантів завдань контрольної роботи.

Посібник рекомендований для студентів заочної форми навчання, а також його можуть використовувати як довідник студенти денної форми навчання.

Дане видання допоможе у процесі навчання та оцінювання знань студентів економічних спеціальностей за кредитно модульною системою.

Література: [1] – с. 7-34; [5] – с. 8-38; 61-76; 89-102.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

що містить рядків та стовпців.

Якщо , то матриця називається квадратною, а число , що дорівнює , – її порядком. У загальному випадку матриця називається прямокутною (розмірів ). Числа , що утворюють матрицю, називаються її елементами.

У запису перший індекс означає номер рядка, а другий індекс – номер стовпця.

Матриця, що складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем.

Матриця, що складається з одного рядка називається матрицею-рядком.

Для квадратної матриці вводиться поняття головної і побічної діагоналей.

Головною називається діагональ, яку утворюють елементи , побічною – діагональ, яку утворюють елементи .

Одинична матриця -го порядку має вигляд

.

Сумою двох матриць А і В однакових розмірів , називається матриця С тих самих розмірів , елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А і В, тобто

.

Добутком матриці розмірів на число називається матриця тих самих розмірів, елементи якої отримуються із відповідних елементів матриці А множенням на число , тобто

.

Добутком матриці розмірів і матриці розмірів називається матриця розмірів , елемент , якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів -го рядка матриці та елементів -го стовпця матриці , тобто

Вирази

називаються відповідно визначниками (детермінантами) другого і третього порядків.

Мінором елемента називається визначник, порядок якого на одиницю менший порядку даного визначника, утворений з даного визначника викреслюванням -го рядка та -го стовпця, на перетині яких стоїть данний елемент . Мінор елемента позначають .

Алгебраїчним доповненням елемента визначника -го порядку називається його мінор, взятий зі знаком , тобто

(1.1)

Нехай дана матриця А -го порядку.

Матриця називається оберненою до матриці , якщо

(1.2)

де – одинична матриця -го порядку.

Якщо , то обернена матриця існує і має вигляд

(1.3)

де – алгебраїчне доповнення елемента матриці , – визначник матриці .

Мінором -го порядку матриці розмірів називається визначник -го порядку, утворений з елементів матриці , що залишились після викреслювання в ній рядків і стовпців .

Рангом матриці називається найвищий з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Крім безпосереднього обчислення мінорів, ранг матриці можна знайти простішим методом, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над нею виконувати елементарні перетворення:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий, відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число;

г) відкинути нульовий рядок (стовпець).

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими

(1.4)

де – коефіцієнти системи, – вільні члени.

Матриця

називається матрицею системи.