Розв’язання
Розв’язання
Побудуємо дані гіперболу та пряму. Для знаходження абсцис точок перетину графіків розв’яжемо систему рівнянь:
, тоді , , , звідки .
Отже,
кв. од.
8. .
Побудуємо дані лінії.
Точки перетину графіків:
, тоді , , звідки .
Як бачимо, фігура розташована у I чверті, тому оберемо . На відрізку фігура зверху обмежена спочатку графіком функції (якщо ), а потім графіком (якщо ). Тому площу всієї фігури знайдемо як суму двох площ, кожну з яких обчислимо за формулою (3.1).
А саме: ,
де кв. од., кв. од.
Отримаємо: кв. од.
Перейдемо до розглядання прикладів обчислення площ у параметричній системі координат для циклоїди та кардіоїди. Обидві ці криві мають механічне походження та описуються точкою кола радіуса , що котиться без ковзання по деякій лінії. Для циклоїди цією лінією буде пряма, а для кардіоїди – знов коло радіуса , що має із першим колом зовнішній дотик.
9. Знайти площу фігури обмеженої віссю та однією аркою циклоїди
.