Формула Гріна–Остроградського.
Нехай область обмежена кривою , яка складається з відрізків прямих , кривих , ,
причому виконується нерівність (рис.10.3). Така область називається елементарною відносно осі .
Аналогічно означається елементарна область відносно осі (рис.10.4):
Якщо область елементарна відносно кожної осі, то вона називається елементарною відносно осей і (рис.10.5).
Теорема 10.1 (формула Гріна–Остроградського).Нехай - елементарна область відносно осей і , її межа є кусково–гладкою кривою, функції і неперервні разом з своїми частинними похідними і в замкненій області . Тоді має місце рівність
(10.1)
Доведення.Обчислимо спочатку (область елементарна відносно осі ) (рис.10.6) подвійний інтеграл:
=[формула Ньютона-Лейбніца]=
[обчислюємо КІ другого роду]= [використовуємо властивість криволінійного інтегралу другого роду, , ]=
.
Аналогічно, оскільки область елементарна відносно осі (рис.10.7), то подвійний інтеграл . Дійсно,
Додаючи обидві формули, і отримаємо формулу (10.1). ■
Формулу Гріна можна узагальнити і на той випадок, коли область можна розбити на області , , які задовольняють теоремі 10.1, і на багатозв’язні області (рис.10.8 – 10.9).
Означення 10.2. Область називається однозв’язною, якщо для довільної замкненої простої кривої або кривої Жордана, яка належить області , внутрішність також належить . Неоднозв’язні області називаються багатозв’язними (рис.10.10).
Однозв’язність області означає, що область не має "дірок".