Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение 18.8. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, когда ее матрица диагональная.

Теорема 19.9. Для каждой квадратичной формы существует замена, которая приводит форму к каноническому виду, причем ее можно выбрать так, что матрица замены будет ортогональной. Доказательство: Пусть А – матрица квадратичной формы. Существует такая ортогональная матрица Т, что - диагональная. - матрица квадратичной формы, которая получается, если в данной форме сделать замену , т.к. - диагональная, то получим канонический вид квадратичной формы. ■

Пример 18.10. , , , . Пронормируем векторы и и получим векторы , которые имеют столбцы координат соответственно: , , , Если в квадратичной форм сделаем замену с матрицей , которая ортагональна, то получим квадратичную форму , которая имеет канонический вид, т.к. ее матрица B= - диагональная. ■