Ортогональные операторы и ортогональные матрицы
Ортогональные операторы. Определение, примеры, свойства
ОПР .14.1.Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f:ε 
ε наз. ортогональным, если 
Îε 
.
Приметр14.2.В Евклидовом пространстве V2 со сколярным произведением 
оператор f: V2 V2 является ортогональным.
СВ-во.14.3.Если f: ε ε – ортогональный оператор, тогда: 1) f сохраняет норму, т.е. 
); 2) f сохроняет угол между векторами, т.е. 
ε\{ 
} 
= 
).
Д-во. 1) 
, значыцца 
.
2) 
, адкуль 
= .■
Св-во14.4.Ортогональный оператор явл. ортоморфизмом пр-ва, т.е. биективным, лин. отображ
ОПР .14.1.Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f:ε ε наз. ортогональным, если Îε .
Опр.14.5.Матрица AÎMat(n´n;R) наз. ортогональной, если 
. Прыклад14.6. 
Лемма 14.7.Если A, BÎMat(n´n;R) і 
X, YÎRn 
тады 
.Доказ. 
. Т.к 
, 
- любые, рассиотрим 
-столбец, у которого і-ы элемент равен 1, а все остальные 0. Так определим и 
трудно заметить, что 
. А это значит, что 
, значит , .■
Св-во14.8.Ортогональный оператор Евклидового пространствав ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу. До-во. Пусть 
ортанармированный базис εn, f:εn εn - ортогональный оператор и А- его матрица в этом базисе. Рассмотрим произвольные векторы Îεn, которые имеют столбцы координат , соответственно в данном базисе. Тогда векторы 
і 
имеют столбцы координат 
і 
соответственно. Из ортогональностиf по 14.7 следует, что 
, 
Из леммы 15.6 следует, что .■
Св-во 14.10. Оператор f ортогонален тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Доказательство: Утверждение, что если f – ортогонально, следует, что А – ортогональна (по 14.8.). Обратно: пусть есть ортонормированный базис, А – ортогональная матрица, тогда есть оператор f. Пусть 
в этом базисе имеют столбцы координат Х и Y. Тогда 
имеют столбцы координат АХ и AY. Тогда 
■