Ортогональные операторы и ортогональные матрицы

Ортогональные операторы. Определение, примеры, свойства

ОПР .14.1.Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f:ε ε наз. ортогональным, если Îε .

Приметр14.2.В Евклидовом пространстве V2 со сколярным произведением оператор f: V2 V2 является ортогональным.

СВ-во.14.3.Если f: ε ε – ортогональный оператор, тогда: 1) f сохраняет норму, т.е. ); 2) f сохроняет угол между векторами, т.е. ε\{ } = ).

Д-во. 1) , значыцца .

2) , адкуль = .■

Св-во14.4.Ортогональный оператор явл. ортоморфизмом пр-ва, т.е. биективным, лин. отображ

ОПР .14.1.Пусть ε – Евклидовое пространство. Лин. Преобразование f:ε ε наз. ортогональным, если Îε .

Опр.14.5.Матрица AÎMat(n´n;R) наз. ортогональной, если . Прыклад14.6.

Лемма 14.7.Если A, BÎMat(n´n;R) і X, YÎRn тады .Доказ. . Т.к , - любые, рассиотрим -столбец, у которого і-ы элемент равен 1, а все остальные 0. Так определим и трудно заметить, что . А это значит, что , значит , .■

Св-во14.8.Ортогональный оператор Евклидового пространствав ортонормированном базисе имеет ортогональную матрицу. До-во. Пусть ортанармированный базис εn, f:εn εn - ортогональный оператор и А- его матрица в этом базисе. Рассмотрим произвольные векторы Îεn, которые имеют столбцы координат , соответственно в данном базисе. Тогда векторы і имеют столбцы координат і соответственно. Из ортогональностиf по 14.7 следует, что , Из леммы 15.6 следует, что .■

Св-во 14.10. Оператор f ортогонален тогда и только тогда, когда его матрица в ортонормированном базисе ортогональна. Доказательство: Утверждение, что если f – ортогонально, следует, что А – ортогональна (по 14.8.). Обратно: пусть есть ортонормированный базис, А – ортогональная матрица, тогда есть оператор f. Пусть в этом базисе имеют столбцы координат Х и Y. Тогда имеют столбцы координат АХ и AY. Тогда