Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства

Вверх

Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П₁ – горизонтальная плоскость проекций, П₂ – фронтальная плоскость проекций делят пространство на четыре квадранта (четверти):

I октант – передний верхний,

II октант – задний верхний,

III октант – задний нижний,

IV октант - передний нижний.

Плоскости П₁ и П₂ пересекаются по прямой, называемой осью проекций (осью абсцисс).

Пусть дана точка А в I октанте и требуется спроецировать её (ортогонально) на плоскости П₁ и П₂ (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Спроецировать ортогонально точку А – значит геометрически опустить з точки А на плоскости проекций П₁ и П₂ перпендикуляры.

АА₂^П₂

АА₁^П₁

Построим комплексный чертеж (эпюр) точки А, т.е. плоский чертеж точка А, состоящий из двух проекций точки А. Для этого мысленно удаляют точку А и проецирующие прямые АА₁ и АА₂, а затем вращают плоскости П₁ вокруг оси Х до совмещения с плоскостью П₂, вращая плоскость П₁ так, чтобы передняя полуплоскость П₁ оказалась под осью Х в совмещенном положении (см. стрелки рис. 1.1).

Прямая линия АА, соединяющая две проекции точки на чертеже, называется линией связи.

Проще начинать строить эпюр точки А с фронтальной проекции А₂, т.к фронтальная плоскость совпадает с плоскостью эпюра, и поэтому расположение точки А₂ относительно оси Х₁₂ на эпюре будет таким же, как и на оригинале (рис. 1.8).

Рис. 1.8.

Отрезок А₁А_х равен расстоянию точки А до фронтальной плоскости проекций П₂, называемому ординатой точки А или глубиной точки А. А₁А_х=АА₂=У_А.

Отрезок А₁А_х равен расстоянию точки А до горизонтальной плоскости проекций П, называемому аппликатой точки А или высотой точки А.

А₂А_х=АА₁=Z_А

Прочитать чертеж точки А, значит перегнуть его мысленно по оси Х_х (ось абсцисс), восстановить перпендикуляры из проекций точки А, и тогда точка пересечения их будет точкой А, заданной комплексным чертежом. Таким же образом доказывается и то, что две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение чертежей точек по координатам упрощается, если нанести координатные оси аппликат Z и ординат Y на наглядном рисунке плоскостей проекций П₁ и П₂ и на комплексном чертеже точки (рис. 1.9)

Рис. 1.9.

Таблица 1

В начертательной геометрии принята левая система координат, когда влево направлена положительная полуось абсцисс Х. Обе проекции точки могут располагаться как над осью Х-ов в зависимости от того, в каком квадранте будет расположена точка.

Построение эпюра (чертежа) точки по наглядному рисунку точки в пространстве, расположенной в той или иной четверти, проще начинать с построения фронтальной проекции точки, откладывая на эпюре по направлению линии связи размер высоты точки, а после этого надо представить себе и решить, куда – вниз или вверх будет перемещаться горизонтальная проекция точки с той горизонтальной полуплоскостью, на которой она расположена, и только тогда можно решить, где над осью Х-ов, или под осью Х-ов будет расположена горизонтальная проекция точки на эпюре.

Построение наглядного рисунка точки в пространстве, расположенной в том или ином квадранте по заданному эпюру точки, лучше также начинать с фронтальной проекции, откладывая размер А₂А_х высоты точки А. После этого надо решить вопрос, на какой горизонтальной полуплоскости проекции, передней или задней, должна лежать горизонтальная проекция точки. Если на эпюре горизонтальная проекция точки лежит под осью абсцисс, то она на наглядном рисунке будет расположена на передней горизонтальной полуплоскости. Если над осью абсцисс, то – на задней горизонтальной полуплоскости.