Предел функции в точке.
Значение функции в точке.
Пусть f(x)=x2 +x+1 
Если х=1, то f(x)= f(1)=12 +1+1=3 – в т.х=1 функция принимает соответствующее значение f(x)=3, аналогично
Если х=0, то f(x)= f(0)=02 +0+1=1
Если х=10, то f(x)= f(10)=102 +10+1=111
Рассмотрим данную функцию f(x)=x2 +x+1 в окрестности т.х=1
| х | у |
| 0,95 | 2,8525 |
| 0,96 | 2,8816 |
| 0,97 | 2,9109 |
| 0,98 | 2,9404 |
| 0,99 | 2,9701 |
| 1,01 | 3,0301 |
| 1,02 | 3,0604 |
| 1,03 | 3,0909 |
| 1,04 | 3,1216 |
| 1,05 | 3,1525 |
Если значения аргумента х достаточно близко подходят к 1 с обеих сторон, то соответствующее значение функции как угодно близко приближается к числу 3
Обозначают х → 1, то у → 3 или
если (если разность между значением х и 1 ничтожно мала, то и разность между f(x) и 3 тоже сколь угодно мала), т.е.
| x-1 | < d, | f(x) – 3 | < ε,
где d,ε>0 очень малые числа d,ε→ 0
или: из того что 1-d<x< 1+d следует. что 3-ε<f(x)<3+ε, другими словами
– как только х попадает в d-окр.т.1 (1-d;1+d), то f(x) попадает в ε-окр.т.3(3-ε;3+ε) (см. табл. для d=0,01соотв ε)
Пусть х=1, соответствующее значение у=3
d=0,01 х = х -d =0,99, тогда у=2,9701 ε =0,0299
х = х+d=1,01, тогда у=3,0301 ε =0,0301, т.е. как только хÎ(0,99;1,01), то уÎ(2,9701; 3,0301)
Предел функции f(x) в точке х=1 равен 3:
lim f(x)=3
x→1
Функция может иметь предел даже в точках, в которых она не определена
Рассм. 
- в точке х=1 она не сущ, однако в точках близких к 1 ее значения будут равны 
и ее предел в точке х=1 равен 3 (при х → 1, f(x) → 3)
О: Число b называется пределом функции f(x) при х→а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое малое положительное число d(ε), что для всех х из d-окрестности
т. а (а-d; а+d) или |x-а|<d выполняется условие |f(x–в|<ε и записывается: lim f(x)=в
x→а
Геометрический смысл предела функции в точке
Пусть lim f(x)=А , это означает, что
x→х0
, при условии |x-х0|<d, выполняется | f(x) –А| < ε, т.е.
Как только значения аргумента х→х0 попадают в d-окрестность точки х0, т.е. (х0-d; х0+d) (или |x-х0|<d), то соответствующие значения функции f(x) попадают в ε-окрестность .точки А, т.е.(А-ε;А+ε)(или | f(x) –А| < ε)
Свойства пределов функций:
1) предел от числа – равен самому числу : lim с=с
x→а
2) функция не может иметь двух пределов в одной точке
(напремер, у=1/х в т.х=0)
lim (1/x)= + ¥ lim (1/x)= - ¥, в т.х=0 предел для1,х не сущ
x→+0 x→-0
3) если каждая из функций f(x) и g(x) имеют предел в точке а, то в этой точке существуют пределы их алгебраической (±) суммы, произведения и частного, при этом числовой множитель выносится за знак предела, т.е.
пусть lim( f(x)=a и lim g(x)=b. тогда
x→а x→а
А) lim( f(x)± g(x))= lim f(x) ± lim g(x)=a±b
x→а x→а x→а
б) lim( f(x)× g(x))= lim f(x) × lim g(x)=a×b
x→а x→а x→а
в) lim( f(x)/ g(x))= lim f(x) / lim g(x) =a/b при lim g(x)¹0
x→а x→а x→а x→а
г) limk f(x))=k lim f(x)
x→а x→а
(Дополнительный материал)
Бесконечно малая и бесконечно большая функции
О: Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если
(БМф)
О: Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если
(БМф) или
О: Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если
(ББф)
О: Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если
(ББф) или
Свойства ББ и БМ функций:
1) Сумма или произведение бесконечно малых функций – функция бесконечно малая
2) Сумма или произведение бесконечно больших функций – функция бесконечно большая
3) При умножении на число БМф (ББф) – получается БМф (ББф)
4) Если f(x) - ББф, то обратная к ней функция 
- есть БМф, и наоборот, если f(x) - БМф, то обратная к ней функция - есть ББф
5) 
простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0 – постоянное число
Вычисление пределов функций
1)
2) lim 
5 lim 
5×lim 
[т.е.1 / БМф = ББф]= 5×¥ = ¥
x→2 x→2 x→2
ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.
- данные условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.
Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.( 
, 
)
Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:
· Выявление старшей степени переменной;
· Деление на эту старшую степень переменной как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:
· Разложение на множители числителя и знаменателя;
· Сокращение дроби.
1)
2)
3)
4)
5)
Техника вычисления пределов
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) 
10)
11)
12)
13)
14)
15)