Оценка апостериорной погрешности.
Мы записывали априорные оценки главного члена погрешности в виде R0 = Ahp, (1) где A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подинтегральной функции; h – шаг интегрирования, p – порядок метода. Такого сорта оценку можно применить не только к методам интегрирования, но и ко многим другим численным алгоритмам.
Первая формула Рунге.
Пусть w – точное значение, к которому должен прийти численный метод (мы его не знаем). Результат численного расчета дает нам величину wh такую, что 
. (2)
Теперь вычислим ту же величину w с шагом kh, где константа k может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффициент A будет одинаковый, так как вычисление осуществляется одним и тем же методом. Получаем 
. (3)
Приравняем правые части выражений (2) и (3) и пренебрежем бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости.
. Отсюда, учитывая (1), получим 
. (4) Эта формула, выражающая апостериорную оценку главного члена погрешности величины w путем двойного просчета с разным шагом, носит название первой формулы Рунге. При уменьшении шага главный член погрешности будет стремиться к полной погрешности R.
Вторая формула Рунге.
Так как модуль и знак апостериорной погрешности из формулы (4) известны, можно уточнить искомое значение 
. Это вторая формула Рунге. Однако теперь погрешность wcorr не определена, известно лишь, что она по модулю меньше R0.
Алгоритм Эйткена.
Способ оценки погрешности для случая, когда порядок метода p неизвестен. Более того, алгоритм позволяет опытным путем определить и порядок метода. Для этого в третий раз вычислим значение величины w с шагом k2h:
. (5)
Приравняем правые части выражений (5) и (3): 
. Отсюда:
. Подставим сюда значение R0 из (4):
. Из этой формулы определяем знаменатель для (4). Кроме того, определяем порядок 
. Для правильно реализованных алгоритмов методов априорных и апостериорных порядки должны получиться совпадающими. Программная реализация формул Рунге позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется автоматически. Пример – уже рассмотренная ранее формула Ромберга.