N-арные отношения (отношения степени n)

В математике n-арные отношения рассматриваются относительно редко, в отличие от баз данных, где наиболее важными являются именно отношения, заданные на декартовом произведении более чем двух множеств.

Пример 6. В некотором университете на математическом факультете учатся студенты Иванов, Петров и Сидоров. Лекции им читают преподаватели Пушников, Цыганов и Шарипов, причем известны следующие факты:

1. Пушников читает лекции по алгебре и базам данных, соответственно, 40 и 80 часов в семестр.
2. Цыганов читает лекции по геометрии, 50 часов в семестр.
3. Шарипов читает лекции по алгебре и геометрии, соответственно, 40 и 50 часов в семестр.
4. Студент Иванов посещает лекции по алгебре у Шарипова и по базам данных у Пушникова.
5. Студент Петров посещает лекции по алгебре у Пушникова и по геометрии у Цыганова.
6. Студент Сидоров посещает лекции по геометрии у Цыганова и по базам данных у Пушникова.

Для того чтобы формально описать данную ситуацию (например, в целях разработки информационной системы, учитывающей данные о ходе учебного процесса), введем три множества:

• Множество преподавателей = {Пушников, Цыганов, Шарипов}.
• Множество предметов = {Алгебра, Геометрия, Базы данных}.
• Множество студентов = {Иванов, Петров, Сидоров}.

Имеющиеся факты можно разделить на две группы. 1 группа (факты 1-3) - факты о преподавателях, 2 группа (факты 4-6) - факты о студентах.

Для того чтобы отразить факты 1-3 (характеризующие преподавателей и читаемые ими лекции), введем отношение на декартовом произведении , где - множество рациональных чисел. А именно, упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда преподаватель читает лекции по предмету в количестве часов в семестр. Назовем такое отношение "Читает лекции по…". Множество кортежей, образующих отношение удобно представить в виде таблицы:

Таблица 3 Отношение "Читает лекции по…"

Для того чтобы отразить факты 4-6 (характеризующие посещение студентами лекций), введем отношение на декартовом произведении . Упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда студент посещает лекции по предмету у преподавателя . Назовем это отношение "Посещать лекции". Его также представим в виде таблицы:

Таблица 4 Отношение "Посещать лекции"

Рассмотрим отношение подробнее. Оно задано на декартовом произведении . Это произведение, содержащее 3*3*3=27 кортежей, можно назвать "Студенты-Лекции-Преподаватели". Множество представляет собой совокупность всех возможных вариантов посещения студентами лекций. Отношение же показывает текущее состояние учебного процесса. Очевидно, что отношение является изменяемым во времени отношением.

Итак, факты о ходе учебного процесса удалось отразить в виде двух отношений третьей степени (3-арных), а сами отношения изобразить в виде таблиц с тремя колонками.

Удобство использования табличной формы для задания отношения определяется в данном случае следующими факторами:

1. Все используемые множества конечны.
2. При добавлении или удалении студентов, предметов, преподавателей просто добавляются или удаляются соответствующие строки в таблице.

Нас сейчас не интересует вопрос, хороши ли полученные отношения. Заметим пока только, что, как показывают следующие замечания, не любую строку можно добавить в таблицу "Посещать лекции".

Замечание. В таблицу "Посещать лекции" нельзя добавить две одинаковые строки, т.к. таблица изображает отношение , а в отношении (как и в любом множестве) не может быть двух одинаковых элементов. Это пример синтаксического ограничения - такое ограничение задано в определении понятия отношение (одинаковых строк не может быть ни в одной таблице, задающей отношение).

Замечание. В таблицу "Посещать лекции" нельзя добавить кортеж (Иванов, Геометрия, Пушников). Действительно, из таблицы "Читает лекции по…", представляющей отношение , следует, что Пушников не читает предмет "Геометрия". Оказалось, что таблицы связаны друг с другом, и существенным образом! Это пример семантического ограничения - такое ограничение является следствием нашей трактовки данных, хранящихся в отношении (следствием понимания смысла данных).