Решение
Условие задачи
Для рамы, показанной на рис. 4.26, найдем вертикальное перемещение точки В и угол поворота сечения А. Жесткость стержней рамы будем считать одинаковой ( 
). Перемещения ищем методом Максвелла – Мора, интегрируя формулу Максвелла – Мора аналитически и графически (с помощью правила Верещагина).
Рис. 4.29. Рама под действием единичной обобщенной силы:
а – соответствующей  ; б – соответствующей 
|
Будем искать первое обобщенное перемещение – вертикальное перемещение точки В. В соответствии с методом Максвелла – Мора для определения этого перемещения приложим в точке В единичную вертикальную сосредоточенную силу (рис. 4.29, а) и найдем изгибающий момент, вызванный этой нагрузкой (координаты 
, 
, 
должны отсчитываться так же, как при определении момента от заданной нагрузки):
участок 1: 
м;
;
участок 2: 
м;
;
участок 3: 
м;
.
Аналогично для определения второго обобщенного перемещения – угла поворота сечения А – приложим в точке А сосредоточенную пару сил, равную единице (рис. 4.29, б), и определим изгибающий момент от этой пары:
участок 1: м;
;
участок 2: м;
;
участок 3: 
м;
.
Вариант 1. Аналитическое интегрирование формулы
Максвелла – Мора
Подставим в формулу Максвелла – Мора (4.21) выражения для изгибающих моментов от заданной нагрузки, найденные ранее при определении внутренних усилий в рассматриваемой раме, умножим их на выражения для изгибающих моментов от единичных обобщенных сил на всех трех участках и выполним интегрирование. Тогда, учтя, что , проинтегрируем формулу (4.21):
250 кН·м3;
–63,3 кН·м2.
В соответствии с правилом знаков метода Максвелла – Мора положительный знак вертикального перемещения говорит о том, что точка В перемещается по направлению обобщенной силы, то есть вверх. Сечение А поворачивается по часовой стрелке (в сторону, противоположную направлению единичной пары сил, так как знак угла поворота отрицательный).
Вариант 2. Интегрирование формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина
Рис. 4.30. Эпюры моментов: а – от заданной нагрузки;
б – от единичной обобщенной силы, соответствующей  ;
в – от единичной обобщенной силы, соответствующей 
|
Построим эпюры моментов от заданной нагрузки М и от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям, М1 и М2 (рис. 4.30). Для перемножения эпюр разобьем эпюру М на 4 простые фигуры: два треугольника w1 и w3, сегмент w2 и трапецию w4. Найдем ординаты под центрами тяжести этих фигур на эпюре М1 (h1, h2 и h3 на рис. 4.30, б). Эпюру М на ригеле, имеющую форму трапеции w4 с основаниями разного знака, умножаем на трапецию эпюры М1 по правилу трапеций (4.24). Согласно правилу Верещагина
кН·м3.
Аналогично находим угол поворота сечения А, перемножая эпюры М и М2. Ординаты под центрами тяжести площадей w1, w2 и w3 показаны на рис. 4.30, в (h¢1, h¢2 и h¢3). Для перемножения трапеции w4 на прямоугольник эпюры М2 нет необходимости пользоваться правилом трапеций, так как, где бы ни находился центр тяжести трапеции, значение h¢4 известно (ординаты на эпюре М2 на этом участке постоянны).
Рис. 4.31. Изогнутая ось рамы
|
кН·м2.
Результаты, полученные по двум вариантам использования формулы Максвелла – Мора, совпадают.
В заключение построим деформированную ось рамы так, чтобы она удовлетворяла эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления рамы (рис. 4.31). На рис. 4.31 показаны полученные перемещения – , в соответствии с их направлениями. Точка перегиба (крестик) изогнутой оси ригеля имеет место в сечении, где меняет знак изгибающий момент. Углы рамы в процессе деформации не меняются.[11]