Определение внутренних усилий в балках
Примеры решения задач
Основные определения
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 ( § 2.4–2.5), гл. 4 (§ 4.1, 4.2), гл. 6 (§ 6.1–6.3), гл. 7 (§ 7.1, 7.2), гл. 8 (§ 8.1–8.5, 8.9).
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 21–25), гл. 15, гл. 8.
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 5 (§ 5.1–5.5), гл. 7 (§ 7.1–7.8, 7.10, 7.13–7.14), гл. 11 (§ 11.4, 11.5).
Статически определимая балка – балка, в которой опорные реакции, а, следовательно, и внутренние усилия можно найти из одних уравнений статики.
Осваивать расчет статически определимых балок удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:
1. Определение внутренних усилий в балках.
2. Проверка прочности балок.
3. Определение перемещений и проверка жесткости балок.
Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на примере конкретных задач.
при плоском поперечном изгибе (задачи № 12–15)
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.5).
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 22).
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.1–7.5).
Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений из уравнений отсеченной части балки следует, что поперечную силуможно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент численно равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).
Рис. 4.5. Правило знаков: а – для поперечной силы; б – для изгибающего момента в балке |
Введем правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если она обходит сечение по часовой стрелке (т. е. сила, находящаяся слева от сечения и направленная вверх, или сила, находящаяся справа от сечения и направленная вниз, – положительны) (рис. 4.5, а).Изгибающий момент положителен, если он изгибает балку выпуклостью вниз. Обращаем внимание на то, что знак внутреннего усилия – изгибающего момента – зависит от того, с какой стороны от сечения находится момент[3]. Как видно из рис. 4.5, б момент, находящийся слева от сечения, действует по часовой стрелке, а момент, расположенный справа от сечения, – против часовой стрелки. И оба они положительны.
При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.
Известно [2], что изгибающий момент М, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки q связаны между собой такими дифференциальными зависимостями:
, (4.11)
(4.12)
и, как следствие (4.11) и (4.12),
. (4.13)
При выводе формул (4.11)–(4.13) нагрузка считалась положительной, если она направлена вниз.
Из определений для поперечной силы и изгибающего момента, а также из дифференциальных зависимостей (4.11)–(4.13) вытекают следующие правила проверки правильности построения эпюр Q и М:
1. На эпюре Q под сосредоточенной силой имеет место скачок на величину этой силы. На эпюре М в этом сечении должен быть перелом, т. е. резкое изменение угла наклона прямой (или касательной к кривой).
2. На эпюре М скачок имеет место под сосредоточенной парой на величину этой пары.
3. Из зависимостей (4.11), (4.12) можно определить вид функций Q и М:
· если на участке отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), то , а М – линейная функция x;
· если на участке действует равномерно распределенная нагрузка (q = const), то Q – линейная функция, а М – квадратная парабола;
· если на участке действует линейно распределенная нагрузка, то соответственно Q является квадратной параболой, а М – кубической.
4.3. Характер поведения функции на участке (то есть ее возрастание или убывание) зависит, как известно, от знака первой производной функции. И из дифференциальных зависимостей (4.11), (4.12) следует:
· если на участке распределенная нагрузка q > 0 (действует вниз), то поперечная сила Q на этом участке является убывающей функцией;
· если на участке поперечная сила положительна, то функция М(x) возрастает;
· если на участке в каком-то сечении функция , то на эпюре М в этом сечении имеет место экстремум.
5.4. По знаку второй производной функции определяется выпуклость функции. Из зависимости (4.13) вытекает, что эпюра М всегда имеет выпуклость в сторону действия распределенной нагрузки (q – вниз, выпуклость – вниз и наоборот). По знаку второй производной от Q можно определить выпуклость эпюры Q. Из (4.11)
и, если q(x) – возрастающая функция, то и эпюра Q имеет выпуклость вверх.
6. Из (4.11) следует, что
.
Это означает, что приращение изгибающего момента DМ на участке между сечениями х1 и х2 равно площади эпюры Q на указанном участке.
7. Из (4.12) получим:
.
То есть приращение поперечной силы на участке между сечениями х1 и х2 равно площади графика на этом участке. Например, если нагрузка q является равномерно распределенной, то площадь графика q равна , где l – длина участка, на котором действует q.
Примечание. Зависимости (4.11) и (4.12) и перечисленные правила справедливы, если начало отсчета x вести слева направо и эпюру М строить со стороны растянутых волокон.
Рекомендуем после построения эпюр обязательно проанализировать результаты, проверив выполняются ли все перечисленные правила в решенной Вами задаче.