Определяем продольную силу и строим эпюру N. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке – силы, находящиеся справа от сечения.

Рис. 1.3. К решению задачи № 1: а – схема нагрузки на стержень; б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Вычисляем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3, б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F₁ = 10 кН, F₂ = 40 кН, q₁ = 15 кН/м, q₂ = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Для этого площади сечений на всех участках выразим через одну неизвестную величину , используя заданное отношение площадей. Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются также и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении хрупкого материала много меньше, чем при его сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3, в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, достаточно проверить прочность в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда ,

и ;

для стальной части

, тогда .

Из трех значений A₁, найденных из условий прочности в опасных сечениях, выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям (то есть максимальное их всех найденных значение . Величину А₂ находим по заданному соотношению: .

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.

1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с соотношением площадей поперечных сечений A₁/A₂ = 2 находится под действием сосредоточенных сил и собственного веса (рис. 1.4, а). Материал стержня на всех участках одинаков. Требуется построить эпюры распределения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня и определить перемещение сечения а–а.

Решение

Строим эпюры изменения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня. Собственный вес стержня учитываем, заменяя его распределенной по длине нагрузкой. Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу, действующему на единицу длины стержня, т. е.

на первом и втором участках

,

на третьем участке

,

где g – объемный вес материала стержня.

Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1. Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от величины q и, следовательно, при построении эпюры N в масштабе угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше, чем на третьем участке, так как A₁ по условию больше, чем A₂ (рис. 1.4, б). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от объемного веса g, и поэтому угол наклона эпюры напряжений на всех участках одинаков (рис. 1.4, в).

Находим перемещение (опускание) сечения а–а. Это перемещение можно вычислять разными способами. По первому способу для определения перемещения используем формулу (1.4). Здесь F – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка длиной l; G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту формулу можно использовать на участках постоянного сечения между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой задаче перемещение сечения а–а складывается из удлинения участка длиной l₁, которое мы обозначим Dl₁, и удлинения участка длиной l_a – Dl_a. При определении удлинения Dl₁ в формуле (1.4) сила F равна сумме F₁, F₂ и собственного веса всех расположенных ниже участков. Вес рассматриваемого участка стержня длиной l₁: . Таким образом, по (1.4)

.

Удлинение Dl_a происходит под действием сосредоточенной силы, состоящей из силы F₂, веса участков стержня, расположенных ниже сечения а–а, и собственного веса участка . То есть

.

Окончательно, опускание сечения а–а равно .

Если построена эпюра распределения напряжений, то для определения перемещения заданного сечения удобно использовать второй способ, применяя формулу (1.2). В формуле (1.2) , длиной l служит координата сечения, а – площадь соответствующей части эпюры напряжений. Подсчитав с учетом знака площади двух трапеций на участке между неподвижным сечением (заделкой) и сечением а–а (заштрихованные площади и эпюры s на рис. 1.4, в)и разделить полученную величину на модуль упругости, получим искомое перемещение сечения а–а:

.

При вычислении перемещения обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Рекомендуем окончательный результат записать в сантиметрах.