Системы счисления (позиционные, непозиционные).

Система счисления — совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные [3].

Непозиционная система счисления — система, в которой, значение символа не зависит от его положения в числе. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных систем. Они использовались в древности римлянами, египтянами, славянами и другими народами. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления.

Цифры в римской системе обозначаются различными знаками: 1—I; 3—III; 5—V; 10—X; 50—L; 100—C; 500—D; 1000—M. Для записи промежуточных значений существует правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а слева — вычитается из него. Так, IV обозначает 4, VI—6, LX— 60, XC—90 и т.д. Основной недостаток непозиционных систем — большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления — система, в которой значение символа зависит от его места в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 7382 первая цифра слева означает количество тысяч, вторая — количество сотен, третья — количество десятков и четвёртая количество единиц. Позиционные системы счисления (ПСС) более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили более широкое распространение. Позиционная система счисления характеризуется основанием.

Основание (базис) ПСС ѕ количество знаков или символов, используемых в разрядах ля изображения числа в данной системе счисления.

Для ПСС с общим основанием справедливо равенство

где q ѕ основание ПСС ѕ целое положительное число; X(q) ѕ произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q; a_i ѕ коэффициент ряда (цифры системы счисления); n, m ѕ количество целых и дробных разрядов.

На практике используют сокращенную запись чисел, т.е.

Возможно множество ПСС, так как за основание можно принять любое целое число.

В десятичной СС основание q=10, любое целое число записывается как сумма величин 10⁰, 10¹, 10³ и т.д., каждая из которых может быть взята 1-9 раз. Число 10 изображается цифрами 1 и 0. Например, последовательность цифр 4627.31, изображающая число в десятичной СС, представляет собой сокращенную запись выражения 4*10³+6*10²+2*10¹+7*10⁰+3*10^-1+1*10^-2.

Таблица 2. Значения первых 16 целых чисел в различных СС.

В вычислительной технике наибольшее распространение получили двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные системы счисления, соответственно с основаниями q=2, 8 и 16. В СС с основанием q=8 используются цифры 0-7; с основанием q=16 — цифры 0-9 и буквы A,B,C,D,E,F.

Вес разряда p_i числа в ПСС есть отношение вида p_i=qⁱ/q⁰, где i — номер разряда справа налево.

Если разряд имеет вес p_i=qⁱ, то следующий старший разряд будет иметь вес p_i+1=qⁱ⁺¹, а предыдущий младший разряд — вес p_i-1=^q-1. Таким образом, в ПСС вес разряда определяется его положением (позицией) в числе.

Для десятичной СС имеем:

__1000___100___10__1

2 1 6 3

3x1=3

6x10=60

1x100=100

2x1000=2000

2163

Здесь вес каждого последующего разряда в 10 раз больше веса предыдущего разряда. Например, цифра 6 в приведенном примере имеет значение 60, т.к. она расположена во втором справа разряде (позиции) числа. Такая взаимосвязь разрядов приводит к необходимости передачи информации между ними. Если при сложении в данном разряде накопилось значение, равное или большее q, то должна происходить передача единицы переноса. Если при вычитании в данном разряде число единиц оказалось меньше нуля, то должна происходить передача единицы займа из старшего соседнего разряда с увеличением его на q для данного разряда. Передача переносов или займов происходит последовательно от разряда к разряду.

Длина числа – количество разрядов (позиций в записи числа).

Длина разрядной сетки – термин, используемый для определения длины числа. В разных СС длина разрядной сетки при записи одного и того же числа неодинаковая. Например, 96₁₀ = 140₈ = 10120₃ = 1100000₂. Из примера видно, что одно и тоже число, записанное в разных СС, имеет разную длину разрядной сетки. Предположим, что длина разрядной сетки равна какому-то положительному числу n, тогда

Х_max = qⁿ – 1.

Диапазон представления(ДП) чисел в заданной СС – интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными длиной разрядной сетки, т.е.

Х_max і ДП і Х_min. Обычно Х_min = 0.