Розклад вектора за базисом

Нехай дано вектори .

Вектор

,

де – числа,

називається лінійною комбінацією векторів , а числа – коефіцієнтами цієї комбінації.

Якщо вектор представлений у вигляді лінійної комбінації векторів , тобто , то кажуть, що вектор розкладений за векторами .

Базисом на площині назвемо два ненульових, неколінеарних вектори цієї площини, взятих в певному порядку.

Нехай на площині заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор цієї площини можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .

Розглянемо можливі випадки:

1) Вектор колінеарний одному з базисних векторів, наприклад, . Тоді за властивостями добутку вектора на число існує таке число , що або і такий розклад єдиний.

2) Вектор не колінеарний ні одному з базисних векторів. Зобразимо три вектори , , (рис. 5.5). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де і колінеарні відповідно векторам , а отже існують такі числа і , що , і

. (5.1)

Коефіцієнти і розкладу (5.1) називаються координатами вектора в базисі і записують ( , ).

Таким чином, кожному вектору на площині в заданому базисі відповідає єдина пара чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор на площині.

Базисом в просторі назвемо три некомпланарних вектори, взятих в певному порядку.

Нехай в просторі заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .

Розглянемо можливі випадки:

1) Вектор і два базисних вектори, наприклад, компланарні. Як показано вище, або .

2) Вектор не компланарний з жодними двома з базисних векторів. Зобразимо вектори , , , (рис. 5.6). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де колінеарний , а компланарний з векторами . Тоді існують такі числа , , , що вектор єдиним чином можна представити у вигляді , а . Отже

. (5.2)

Коефіцієнти , , розкладу (5.2) називаються координатами вектора в базисі і записують ( , , ).

Таким чином, кожному вектору простору в заданому базисі відповідає єдина трійка чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор.

Відмітимо, що всі координати нульового вектора рівні нулю. Якщо вектор , то .

Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори одиничні і попарно ортогональні.