Интегрирование функций нескольких переменных. Двойные интегралы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует и он не зависит от выбора разбиения и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Двойной интеграл существует, если непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .