Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному про­цессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической со­ставляющей (тренда и периодической составляющей, если она присут­ствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

y_t = u_t + e_t . (5.33)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактиче­ских уровней временного ряда (y_t) от выравненных, расчетных ( ):

e_t=y_t- . (5.34)

При использовании кривых роста вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процес­су, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчи­няется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на из­учаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последова­тельности значений e_t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую состав­ляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остат­ков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут кор­релировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место авто­корреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полу­ченные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности. В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреля­ции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

. (5.35)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d=2(1-r₁) , (5.36)

где r₁ - коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е₁, е₂,... ,е_n-1 и е₂, е₃,... ,е_n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная автокорреляция ( ), то величина d=0 , в случае сильной отрицательной автокорреляции ( ) d=4. При от­сутствии автокорреляции ( ) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позво­ляющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорре­ляции. Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице 5.5. В этой таблице d₁ и d₂ -соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина-Уотсона; k^/ - число переменных в модели; п - длина времен­ного ряда.

Таблица 5.5

Значения критерия Дарбина-Уотсона d₁ и d₂ при 5% уровне значимости

Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (5.35) с теорети­ческими значениями d₁ и d₂, взятыми из таблицы.

При сравнении величины d с d₁ и d₂ возможны следующие вари­анты:

1) если d < d₁ то гипотеза о независимости случайных отклоне­ний (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) если d > d₂, то гипотеза о независимости случайных откло­нений не отвергается;

3) если d₁ < d < d₂, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область «неопределенности».

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остат­ках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e_t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критиче­скими значениями d₁ и d₂ сравнивается не сам коэффициент d, a 4 - d.

Для определения доверительных интервалов модели свой­ство нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследова­ния показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной со­вокупности, то можно определить выборочные характеристики асим­метрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки

, (5.37)

, (5.38)

, (5.39)

, (5.40)

где: А - выборочная характеристика асимметрии;

Э - выборочная характеристика эксцесса;

s_А - среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

s_Э - среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

, (5.41)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной ком­поненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

, (5.42)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.