Доверительные интервалы прогноза

Вопрос 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

Заключительным этапом применения кривых роста яв­ляется экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответ­ствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени опреде­ляется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желатель­но определить границы возможного изменения прогнозируемого по­казателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого пока­зателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблю­дений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, мо­жет быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. До­верительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, опре­деляется в виде:

, (5.26)

где п - длина временного ряда;

L - период упреждения; - точечный прогноз на момент n+L;

t_a - значение t-статистики Стьюдента;

S_p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содер­жат погрешность. Погрешность параметра а₀ приводит к вертикально­му сдвигу прямой, погрешность параметра а₁ изменению угла на­клона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса кон­кретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S²_p можно представить в виде:

, (5.27)

где: S_y² -дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t_l - время упреждения, для которого делается экстраполяция, t_l = n + L;

t - порядковый номер уровней ряда, t=1, 2,..., п;

- порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, ;

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

. (5.28)

Обозначим корень в выражении (5.28) через К. Значение К за­висит только от п и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t_aK . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

. (5.29)

Выражение, аналогичное (5.28), можно получить для полинома второго порядка:

(5.30)

или

. (5.31)

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

, (5.32)

где: y_t - фактические значения уровней ряда,

-расчетные значения уровней ряда,

п - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интер­вал при одном и том же значении S_y, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствую­щих параметров уравнения.

Рис. 5.4. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использо­ванием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. От­личие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные ин­тервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значе­ние асимптоты известно (например, для модифицированной экспонен­ты).

В таблице 5.4 приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда п и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (п) значения К* умень­шаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений п: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 5.4

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7)