Прогнозировании

Применение моделей кривых роста в экономическом

Вопрос 3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста

 

Удобным средством описания одномерных временных рядов явля­ется их выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюда­лись бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответст­вует характеру изменения временного ряда;

2) оценка параметров выбранных кривых;

3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет точечного и интервального прогнозов.

В настоящее время в литературе описано несколько десятков кри­вых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов.

Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

Ко IIклассу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел, роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услу­гах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т.п.

Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыще­ния. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к IIIтипу кривых роста - к S-образным кривым.

Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообраз­ных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой - с замедлением.

S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования на­учно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ря­да.

Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако, все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I типа, прежде всего следует выделить класс полиномов:

yt=a0 + a1t + a2t2 + ... + aptp, (5.16)

где: ai(i=0, l, ... , р) - параметры многочлена,

t - независимая переменная (время).

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамического ря­да. Например, их можно трактовать как скорость роста (a1), ускорение роста(а2), изменение ускорения (а3), начальный уровень ряда при t=0 (a0). Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высо­ких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

Полином первой степени yt=a0+a1t на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени yt=a0+a1t+a2t2 применим в тех случаях, ко­гда процесс развивается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).

Как известно, если параметр а2>0 , то ветви параболы направлены вверх, если же а2<0, то вниз. Параметры а0 и a1 не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей степени имеет вид yt=a0+a1t+a2t2+a3t3.

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (рисунок 5.3).

Отличительная черта полиномов - отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt).

Оценки параметров в модели (5.16) определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в «отыскании» таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значе­ний уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким обра­зом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

, (5.17)

где yt- фактическое значение временного ряда;

- расчетное значение;

п - длина временного ряда.

Не будем останавливаться на математическом аппарате метода наи­меньших квадратов, подробно описанного в литературе по математиче­ской статистике. Приведем систему нормальных уравнений, полученную в результате минимизации выражения ( 5.17):

 

(5.18)

………………………………………………….

Система (5.18) состоит из (р+1) уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин (р+1) коэффициентов а0, а1, ... , ар. Решение этой системы позволяет вычислить оценки искомых коэффициентов.

Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще. Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой:

. (5.19)

Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения:

Для параболы 2-го порядка получим аналогичную систему нор­мальных уравнений:

. (5.20)

Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов а0, а1 а2.

Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

yt= ah bt (5.21)

Если b>1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b<1. Параметр а характеризует начальные условия развития, а параметр b - постоянный темп роста.

Действительно, темп роста равен Tt = (yt / yt-1)h100%.

В данном случае Тt = (a h bt /a h bt-1) h 100% = bh100% = const.

Соответственно и темпы прироста постоянны

Kt=Tt-100=const .

Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t, для этого прологарифмируем выражение (5.21):

log yt= log a+t log b.

Пусть log a=A; log b=B. Тогда log yt =A+tB.

Теперь для оценивания неизвестных параметров можем использо­вать систему нормальных уравнений для прямой (5.19).

Иначе говоря, нормальные уравнения строятся исходя из миними­зации:

.

Соответственно в нормальных уравнениях вместо фактических уровней выступают их логарифмы:

. (5.22)

Найдем неизвестные параметры А и В. Зная значения A =log а и В =log b, определим значения а и b, и с помощью потенциирования получим показательную функцию, служащую для выравнивания ряда.

Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универсальностью. Однако, следует иметь в виду, что полученные оценки параметров оказываются смещенными, т. к. при расчете участвуют не исходные уровни, а их логарифмы. Смещение будет тем значительнее, чем больше разность между последовательными уровнями динамического ряда. Не приводит к смещению в подобных случаях нелинейный метод наименьших квадратов.

Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола

. (5.23)

Прологарифмировав выражение (5.23), получим параболу

log yt = log a+t log b+t2log с

Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осуществить с помощью метода наименьших квадратов, ис­пользуя систему нормальных уравнений для параболы (5.20). При этом ос­таются в силе сделанные выше замечания о смещении полученных оценок.

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без «насыщения».

Когда процесс характеризуется «насыщением», его следует описы­вать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Приме­ром такой кривой может служить модифицированная экспонента:

, (5.24)

где у = k является горизонтальной асимптотой.

Если параметр а отрицателен, то асимптота находится выше кри­вой, если а положителен, то ниже. При решении экономических задач ча­ще всего приходится иметь дело с кривой, у которой а<0 , b<1. В этом слу­чае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу.

При решении экономических задач часто можно определить значе­ние асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Ино­гда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:

, (5.25)

где k/ - заданное значение асимптоты.

Прологарифмируем (5.25):

log (yt-k/) = log a + t log b

Теперь оценить параметры log а и log b можно, использовав систе­му нормальных уравнений (5.22).

Для оценивания параметров модифицированной экспоненты воз­можно применение как нелинейного метода наименьших квадратов, так и ряда других методов, в которых вычисления проще, но оценки менее эффективные.

Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого про­цесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для вырав­нивания используют S-образные кривые.

Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая, или кривая Перла-Рида.

Кривая Гомперца имеет вид: .

Кривая несимметрична.

Если log а <0, кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k, проходит выше кривой.

Если log а >0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кри­вая изменяется монотонно: при b<1 - монотонно убывает; при b>1 - моно­тонно возрастает.

Для решения экономических задач наибольший интерес представ­ляет вариант этой кривой, когда log а <0 и b<1 (рисунок 5.3).

Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте yt обратной величиной 1/ yt:

.

При ордината стремится к нулю, а при - касимптоте, равной значению параметра k. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами: t = ln b: a; yt= k : 2.

Как видно из графика, логистичеcкая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп роста замедляется и, наконец, рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

 

 

Рис. 5.3. Кривые роста

 

С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой от­расли (нового производства). Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, и, наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне. Однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов. Выявленная тенденция развития производства может быть на­рушена, например, вследствие технического переворота в данной отрасли или связанной с нею. Таким образом, мы рассмотрели наиболее часто ис­пользуемые в экономических исследованиях виды кривых роста. Выяв­ленные особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой.