Компоненты временных рядов. Проверка гипотезы о существовании тенденции

В практике прогнозирования принято считать, что значения уров­ней временных рядов экономических показателей складываются из сле­дующих компонент: тренда, сезонной, циклической и случайной состав­ляющих.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направле­ние развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные ко­лебания - периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т.д.

При большем периоде колебания, считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Экономисты разделяют случайные факторы, под действием кото­рых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

• факторы резкого, внезапного действия;

• текущие факторы.

Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило, вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями - иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющие­ся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каж­дого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (5.1), если в виде произведения - мультипликативной (5.2) или смешанного типа (5.3):

(5.1)

(5.2)

(5.3)

где Y_t - уровни временного ряда;

u_t - трендовая составляющая;

s_t - сезонная компонента;

v_t - циклическая компонента;

e_t- случайная компонента.

Рис. 5.1. Месячная динамика производства отдельных видов промышленной продукции в натуральном выражении

Рис. 5.2. Месячная динамика производства электроэнергии

На рисунках 5.1, 5.2 приведены примеры временных рядов, иллюстрирующие присутствие в них указанных компонент. Графики месячных временных рядов производства промышленной продукции наглядно де­монстрируют устойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнем участке темпы падения производства заметно сни­жаются.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем бо­лее, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Не всегда при этом четко прослеживает­ся присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде, чем пе­рейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статисти­ческой проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Рассмотрим наиболее часто используемые на практике критерии проверки «наличия-отсутствия» тренда: критерий восходящих и нисходя­щих серий; критерий серий, основанный на медиане выборки и метод Фостера-Стюарта.

Критерий «восходящих и нисходящих» серий реализуется в виде следующей последовательности шагов:

1. Для временного ряда у₁, у₂,…, у_t,…, у_n определяется последовательность, исходя из следующих условий:

. (5.4)

Индекс i может изменяться от 1 до (n-1). В случае, когда последую­щее наблюдение окажется равным предыдущему, учитывается только одно наблюдение.

Таким образом, элементы этой последовательности принимают значение «+», если последующее значение уровня ряда y_t+1 больше предыдущего y_t, и «-» - в противном случае.

2. Подсчитывается n(n) - число серий в совокупности d_i (i=1,…,n-1), где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией.

3. Определяется t_max(n) - протяженность самой длинной серии.

4. Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому, если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда (гипотеза о случайности) отвергается для 5% уровня значимости (с доверительной вероятностью 0,95).

, (5.5)

где n - длина временного ряда;

n(n) - число серий;

t_max(n) - число подряд идущих плюсов или минусов в самой длин­ной серии.

Величина t₀(n) - табличное значение, зависящее от n-длины исход­ного ряда.

Квадратные скобки в правой части неравенства (1.5.) означают це­лую часть числа. Напомним, что целая часть числа А - [А] - это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Рассмотрим теперь критерий серий, основанный на медиане выбор­ки.

Этот критерий гипотезу о случайности временного ряда проверяет следующим образом:

1. Из исходного ряда y_t длиной п образуется ранжированный (вариационный) ряд y^/_t : y^/₁, y^/₂,…, y^/_n, где y^/₁ наименьшее значение ряда.

2. Определяется медиана этого вариационного ряда Me. В случае нечетного значения n (n=2m+l) Me= y^/_m+1, в противном случае Me=( y^/_m⁺ y^/_m+1):2.

3. Образуется последовательность d_i из плюсов и минусов по следующему правилу:

. (5.6)

Если значение y_t равно медиане, то это значение опускается.

4. Подсчитывается протяженность самой длинной серии t_max(n) и общее число серий v(n) аналогично тому, как это делалось в критерии «восходящих и нисходящих» серий.

5. Для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости):

. (5.7)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Другой способ проверки гипотезы о наличии тенденции процесса основывается на методе Фостера-Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующей последовательности шагов:

1. Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик m_t и l_t:

. (5.8)

Таким образом, m_t=l, если y_t больше всех предшествующих уров­ней, a l_t=1, если у_t, меньше всех предшествующих уровней.

2. Вычисляется d_t=m_t-l_t для всех t=2,…,n.

Очевидно, что величина d_t может принимать значения 0; 1; - 1.

3. Находится характеристика .

4. С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D-0 (т.е. ряд можно считать случай­ным, не содержащим тренд).

Для этого определяется:

, (5.9)

где s_D - средняя квадратическая ошибка величины D:

. (5.10)

Значения s_D затабулированы.

Таблица 5.1

Значения стандартных ошибок для <7d для п от 10 до 100

Расчетное значение t_набл сравнивается с критическим значением t_кр, взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости a и числа степеней свободы k = n - 1. Если t_набл > t_кр, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.