II. Решение задач.

Карточка 4

1. На какую фигуру отображается при движении треугольник?

2. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.

3. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСD является его центром симметрии. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

1. На этих уроках рекомендуется рассмотреть простые задачи, причем большинство из них целесообразно решать в ходе обсуждения с учащимися. Это относится к задачам №№ 1172, 1173, 1177, 1180.

2. Полезно обсудить и решения задач № 1176, №1178.

3. Задачи №№ 1174, 1175, 1181 и 1182 можно предложить учащимся решить самостоятельно, а затем обсудить полученные решения.

Решения

1) задача № 1172.

Поскольку точки А и В отображаются на себя, то и прямая АВ отображается на себя. Пусть М – произвольная точка прямой АВ. Она отображается в некоторую точку М₁, также лежащую на прямой АВ. По определению движения АМ = АМ₁, ВМ = ВМ₁. Допустим, что точка М₁ не совпадает с точкой М. Тогда из первого равенства следует, что точка А – середина отрезка ММ₁, а из второго равенства, что точка В также середина отрезка ММ₁. Значит, точки А и В совпадают, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, то есть точки М и М₁ совпадают. Итак, любая точка прямой АВ отображается на себя.

2) Задача № 1173.

Пусть g – данное движение, а е – тождественное отображение плоскости на себя, то есть отображение, при котором каждая точка плоскости и, в частности, каждая вершина треугольника АВС отображается на себя. Ясно, что е – движение, поэтому согласно задаче № 1155 движения g и е совпадают, и, значит, движение g является тождественным отображением плоскости на себя.

3) Задача № 1180.

Рассмотрим поворот вокруг точки О на 120° в направлении обхода по дуге АВС от точки А к точке С. Так как АОВ = ВОС = СОА = 120° и ОА = ОВ = ОС, то при этом повороте точка А отображается в точку В, точка В – в точку С, точка С – в точку А. Аналогично при этом же повороте точки А₁, В₁, С₁ отображаются соответственно в точки В₁, С₁ и А₁.

Следовательно, прямая АА₁ отображается на прямую ВВ₁, прямая ВВ₁ – на прямую СС₁, прямая СС₁ – на прямую АА₁.

Отсюда следует, что если прямая АА₁ проходит через точку О, то прямые ВВ₁ и СС₁ также проходят через эту точку.

Если же прямая АА₁ не проходит через точку О, то и прямые ВВ₁ и СС₁ не проходят через эту точку и, попарно пересекаясь, образуют некоторый треугольник МNР. Ясно, что при рассматриваемом повороте точка М пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁ отображается в точку пересечения отрезков ВВ₁ и СС₁. Аналогично точка N отображается в точку Р пересечения отрезков СС₁ и АА₁, а точка Р – в точку М. Следовательно, МN = NP = PМ, то есть треугольник МNР – равносторонний.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе: повторить материал пунктов 113–117 и ответить на вопросы 1–17, с. 303–304 учебника; решить задачи №№ 1219, 1220, 1221, 1222.

Урок 8
Контрольная работа № 4

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся в решении задач по теме «Движения».