Прогнозирование на основе кривых роста

 

Прогнозирование социально-экономических явлений на основе кривых роста (кривых насыщения) стало применяться сравнительно недавно. Впервые эти методы были использованы в начале ХХ века для прогнозирования роста биологических популяций. Однако кривые роста хорошо себя зарекомендовали и при прогнозировании социально-экономических явлений. Их применение в этом случае требует соблюдения определенных условий.

· Исходный временной ряд должен быть достаточно длинным (30-40 лет).

· Исходный временной ряд не должен иметь скачков, и тенденция такого ряда должна описываться достаточно плавной кривой.

· Использование кривых роста в прогнозировании социально-экономических явлений может давать достаточно хорошие результаты, если предел насыщения будет определен сравнительно точно.

Следует отметить, что кривые роста отражают кумулятивные возрастания к определенному заранее максимальному пределу.

Особенностью кривых роста является то, что абсолютные приращения уменьшаются по мере приближения к пределу. Однако процесс роста идет до конца.

Значение кривых роста как методов статистического прогнозирования социально-экономических явлений состоит в том, что они способствуют эмпирически правильному воспроизведению тенденции развития исследуемого явления.

Наиболее распространенными кривыми роста, используемыми в статистической практике прогнозирования, являются кривая роста Гомперца и кривая роста Перля-Рида.

Особенностью уравнений этих кривых является то, что их параметры могут быть определены методом наименьших квадратов лишь приближенно. Для расчета параметров этих кривых используется ряд искусственных методов, основанных на разбиении исходного ряда динамики на отдельные группы.

Например, для того чтобы осуществить прогноз на основе кривой роста Гомперца (она названа так в честь английского статистика и математика, впервые применившего эту кривую для прогнозирования в страховании), необходимо выполнить следующее:

· кривая описывается уравнением:

;(3.43)

· прологарифмировав уравнение, получаем:

lg y = lg a + (lg b) × cx,(3.44)

где:

lg a–логарифм максимального значения, к которому приближается прогнозный уровень явления;

lg b–расстояние, которое отделяет в каждый данный момент значение уровня от его максимального значения;

с–имеет значение от нуля до единицы;

х–начало на шкале х, к которому относится первое значение уровня (t = 0, 1, 2, … , n);

· затем весь ряд динамики разбивается на три приблизительно равные части:

длины ряда; (3.45)

· для каждой выделенной части рассчитываются суммы логарифмов значений уровней S1, S2, S3;

· определяются первые разности по этим суммам:

 

d1 = S2 – S1;

d2 = S3 – S2;(3.46)

 

· на основании этих расчетов получим параметры уравнения с, lg a, lg b, которые рассчитываются следующим образом:

,

где:

k – число уровней ряда в каждой части;

Отсюда

 

, (3.47)

 

.

Чтобы использовать данную кривую для экстраполяции за пределы исходного ряда динамики, достаточно подставить соответствующее значение x в уравнение кривой.

Пример. Произвести прогноз прибыли одного из предприятий автомобильной промышленности на основе кривой роста Гомперца.

Таблица 3.3

Расчетная таблица определения
промежуточных расчетов кривой Гомперца

Месяц х lg ŷ ŷt
январь 377,3 2,577 2,5874 380,7230
февраль 413,2 2,616 2,6216 418,408
март 446,0 2,649 2,6487 445,3485
апрель 473,9 2,676 2,6701 467,8429
май 497,2 2,697 2,6871 486,5192
июнь 514,3 2,711 2,7005 501,7646
июль 529,9 2,724 2,7111 514,162
август 520,8 2,717 2,7195 524,2036
сентябрь 519,7 2,716 2,7262 532,3534
октябрь 525,7 2,721 2,7315 538,8898
ноябрь 536,6 2,730 2,7356 544,0014
декабрь 542,6 2,734 2,7389 548,1507
январь 551,4 2,741 2,7415 551,4422
февраль 555,0 2,744 2,7436 554,1151
март 570,4 2,756 2,7452 556,1603

S1 = 13,215 S2 = 13,589 S3 = 13,705

d 1= S2 – S1 = 13,589 – 13,215 = 0,374

d2 = S3 – S2 = 13,705 –13,589 = 0,116

C5 = ; C = = 0,7913

= 0,1640

x = 13

ŷ

x = 14 ŷ

x = 15 ŷ

.

 

Наряду с кривой роста Гомперца достаточно широкое распространение получила кривая роста Перля-Рида, которая в прогнозировании социально-экономических явлений впервые была использована для демографических расчетов американским учеными – биологом Р. Перлем и математиком Л. Ридом.

Эта кривая выражает модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к некоторому определенному пределу. Максимальный предел устанавливается, прежде всего, на основании конкретного изучения исследуемого социально-экономического явления.

Так же, как и кривая Гомперца, кривая Перля-Рида использует тот же искусственный прием для определения параметров кривой. Однако следует отметить, что по сравнению с кривой Гомперца прогнозные данные, полученные по этой кривой, имеют некоторую неопределенность.

Кривая роста Перля-Рида описывается уравнением:

(3.48)

Параметры уравнения находятся следующим образом:

; ; (3.49)

Из приведенных расчетов видно, что параметры уравнения кривой роста Перля-Рида определяются так же, как и параметры кривой роста Гомперца, за исключением того, что в последнем случае не используется прием логарифмирования. Кроме того, нужно иметь в виду, что в зависимости от масштаба данных величина умножается на 10000, 100000 или 1000000.