Моделирование случайного компонента
Исследование случайного компонента проводится с целью решения двух основных задач:
· оценки правильности выбора трендовой модели;
· оценки стационарности случайного процесса.
При правильном выборе формы тренда отклонения от него будут носить случайный характер, что означает, что изменение случайной величины et не связано с изменением t.
Для этого определяются отклонения эмпирических значений от теоретических: et = yt – f(t) для каждого уровня исходного временного ряда.
Проверяется гипотеза H0: о том, что значения случайной величины et случайны и величина et не зависит от времени.
Методами проверки данной гипотезы являются следующие:
– критерий серий, основанный на медиане выборки;
– критерий «восходящих» и «нисходящих» cерий;
– критерий min и max.
Критерий серий, основанный на медиане выборки.
Этапы реализации метода:
· рассчитываются отклонения эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда: e1, e2, ..., en ( 
).
· et ранжируются, где:
e(1) – наименьшее значение: e(1), e(2), ..., e(n) в порядке возрастания или убывания.
· Определяется медиана отклонений emed.
· Значения et сравниваются со значением emed и ставится знак «+» или «-»:
et > emed – «+»
et < emed – «-»
et = emed – пропускается уровень или ставится «0».
Таким образом получается ряд «+» и «-».
· Выдвигается и проверяется следующая основная гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то их чередование должно быть случайным.
· Последовательность «+» и «-» называется серией.
· Определяется kmax(n) – длина наибольшей серии.
· Определяется V(n) – число серий.
Выборка признается случайной, если одновременно выполняются неравенства (a = 0,05):
(2.37)
Если хотя бы одно неравенство нарушается, то гипотеза о случайности отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.
Пример.Произведем оценку случайной компоненты в ряду динамики числа зарегистрированных разбоев (в тыс., цифры условные)
Таблица 2.14
| Годы | ||||||||||
| Число разбоев | 16,5 | 18,5 | 30,4 | 34,2 | 37,9 | 37,7 | 34,6 | 34,3 | 38,5 | 41,1 |
Необходимо выявить случайную компоненту в данном ряду динамики с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. В качестве трендовой модели рассмотрим линейный тренд и параболу второго порядка.
Первоначально оценим отклонения эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда:
Рассчитаем параметры уравнения прямой, используя метод наименьших квадратов. Промежуточные вычисления отразим в таблице 2.15.
Таблица 2.15
Расчетная таблица для определения параметров
линейного тренда, описывающего тенденцию
изменения числа зарегистрированных разбоев
за период 2004-2013 гг.
| Годы | yt | t | ty | t2 | 
|
| 16,5 18,5 30,4 34,2 37,9 37,7 34,6 34,3 38,5 41,1 | -9 -7 -5 -3 -1 | -148,5 -129,5 -152,0 -102,6 -37,9 37,7 103,8 171,5 269,5 369,9 | 21,93 24,25 26,57 28,89 31,21 33,53 35,85 38,17 40,49 42,81 | ||
| Итого | 323,7 | 381,9 | 323,7 |
Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид:
.
Рассчитаем отклонения 
эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев от выровненных по тренду (таблица 2.16, гр. 4).
Проранжируем полученные отклонения в порядке убывания (таблица 2.16, гр. 5).
Определим медиану отклонений 
:
Cравним значения отклонений 
с 
:
· если > , то ставим «+»;
· если < , то «–».
Получили ряд плюсов и минусов. Отразим результаты в таблице 2.16.
Таблица 2.16
Расчетная таблица для определения параметров критерия
серий, основанного на медиане выборки числа
зарегистрированных разбоев за период 2004-2013 гг.
| Год | yt | t | 
| 
|  ранжированные
| Знаки сравнения
|
| А | ||||||
| 16,5 18,5 30,4 34,2 37,9 37,7 34,6 34,3 38,5 41,1 | -9 -7 -5 -3 -1 | 21,93 24,25 26,57 28,89 31,21 33,53 35,85 38,17 40,49 42,81 | -5,43 -5,75 3,83 5,31 6,69 4,17 -1,25 -3,87 -1,99 -1,71 | 6,69 5,31 4,17 3,83 -1,25 -1,71 -1,99 -3,87 -5,43 -5,75 | - - + + + + + - - - |
Выдвигается гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то и их чередование должно быть случайным.
Для проверки выдвинутой гипотезы определим длину наибольшей серии:
и число серий V(n)=3; n=10.
Гипотеза не отвергается, если справедлива следующая система неравенств.
Оба неравенства выполняются, гипотеза о случайности отклонений уровней временного ряда от тренда в виде прямой 
не отвергается.
Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений числа зарегистрированных разбоев от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка:
Для нахождения неизвестных параметров используем метод наименьших квадратов.
Параметры данного уравнения определим из следующей системы:
Промежуточные вычисления приведены в таблице 2.17.
Таблица 2.17
Расчетная таблица для определения параметров параболы
второго порядка, описывающей тенденцию изменения числа
зарегистрированных разбоев за период 2004-2013 гг.
| Годы | yt | t | ty | t2 | t4 | t2y |
|
| 16,5 18,5 30,4 34,2 37,9 37,7 34,6 34,3 38,5 41,1 | -9 -7 -5 -3 -1 | -148,5 -129,5 -152 -102,6 -37,9 37,7 103,8 171,5 269,5 369,9 | 1336,5 906,5 307,8 37,9 37,7 311,4 857,5 1886,5 3329,1 | 16,65 22,49 27,45 31,53 34,73 37,05 38,49 39,05 38,73 37,53 | |||
| Итого | 323,7 | 381,9 | 9770,90 | 323,7 |
Подставив в данную систему вычисленные значения, получим следующие значения параметров уравнения параболы.
Полученное уравнение параболы второго порядка выглядит следующим образом:
Рассчитаем отклонения эмпирических значений признака от выровненных по тренду (таблица 2.18, гр. 4).
Проранжируем полученные отклонения в порядке убывания (графа 5).
Определим медиану отклонений : 
= 
.
Сравним значения отклонений с :
· если > , то ставим «+»;
· если < , то «–».
Получили ряд плюсов и минусов (графа 6).
Отразим результаты в таблице.
Таблица 2.18
Расчетная таблица для определения параметров
критерия серий, основанного на медиане выборки
| Год | yt | t | 
| 
| ранж
| 
|
| А | ||||||
| 16,5 | -9 | 16,65 | -0,15 | 3,57 | – | |
| 18,5 | -7 | 22,49 | -3,99 | 3,17 | – | |
| 30,4 | -5 | 27,45 | 2,95 | 2,95 | + | |
| 34,2 | -3 | 31,53 | 2,67 | 2,67 | + | |
| 37,9 | -1 | 34,73 | 3,17 | 0,65 | + | |
| 37,7 | 37,05 | 0,65 | -0,15 | + | ||
| 34,6 | 38,49 | -3,89 | -0,23 | – | ||
| 34,3 | 39,05 | -4,75 | -3,89 | – | ||
| 38,5 | 38,73 | -0,23 | -3,99 | – | ||
| 41,1 | 37,53 | 3,57 | -4,75 | + |
Выдвигается гипотеза H0: если отклонения от тренда случайны, то и их чередование должно быть случайным.
Для проверки выдвинутой гипотезы определим:
· длину наибольшей серии 
;
· число серий V(n)=4;
· n=10.
Гипотеза не отвергается, если справедлива следующая система неравенств:
.
Оба неравенства выполняются, следовательно гипотеза о случайности отклонений уровней ряда динамики числа зарегистрированных разбоев от тренда в виде параболы 
не отвергается.
Пример. Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе трендовых моделей, рассчитанных в таблице 2.10.
Промежуточные расчеты приведены в таблице 2.19.
Таблица 2.19
Расчетная таблица для определения параметров критерия серий, основанного на медиане выборки, для моделей линейного тренда и параболы второго порядка, описывающих тенденцию
в изменении объема платных услуг населению одного
из регионов за январь–декабрь 2013 г.
| Месяц | yt |  прямая
| 
| ранж.
| Знаки откло-нений | парабола
|
| ранж
| Знаки откло-нений |
| январь | 21,4 | 21,82 | -0,42 | 1,02 | 
| 21,283 | 0,117 | 1,152 | 
|
| февраль | 22,1 | 22,68 | -0,58 | 0,78 | 22,423 | -0,323 | 0,717 | 
| |
| март | 23,9 | 23,54 | 0,36 | 0,66 | 
| 23,507 | 0,393 | 0,477 |
|
| апрель | 24,3 | 24,40 | -0,10 | 0,62 | 
| 24,535 | -0,235 | 0,413 |
|
| май | 24,9 | 25,26 | -0,36 | 0,36 | 25,507 | -0,607 | 0,393 | ||
| июнь | 26,9 | 26,12 | 0,78 | 0,10 |  +
| 26,423 | 0,477 | 0,117 |  +
|
| июль | 28,0 | 26,98 | 1,02 | -0,10 | + | 27,283 | 0,717 | -0,035 | + |
| август | 28,5 | 27,84 | 0,66 | -0,36 | + | 28,087 | 0,413 | -0,235 | + |
| сентябрь | 28,8 | 28,70 | 0,10 | -0,42 | + | 28,835 | -0,035 | -0,323 |  –
|
| октябрь | 28,6 | 29,56 | -0,96 | -0,58 |
| 29,527 | -0,927 | -0,607 | – |
| ноябрь | 29,3 | 30,42 | -1,12 | -0,96 | 30,163 | -0,863 | -0,863 | – | |
| декабрь | 31,9 | 31,28 | 0,62 | -1,12 |
| 30,748 | 1,152 | -0,927 |
|
Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе линейного тренда:
= 
= 6
.
Оба приведенных неравенства выполняются одновременно, следовательно гипотеза о случайности отклонений эмпирических уровней временного ряда объема платных услуг населению от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда не отвергается.
Произведем оценку случайности отклонений эмпирических значений объема платных услуг населению от теоретических, полученных на основе параболы второго порядка:
= 
= 7
;
.
Вывод аналогичен, то есть оба приведенных неравенства выполняются одновременно, следовательно гипотеза о случайности отклонений эмпирических уровней временного ряда объема платных услуг населению от теоретических, полученных по уравнению параболы второго порядка не отвергается.