I. По возрастанию или убыванию уровней ряда:

· монотонно-возрастающие;

· монотонно-убывающие;

· комбинированные.

II. По наличию насыщения и стремлению к некоторой предельной величине:

· имеющие пределы насыщения;

· не имеющие пределов насыщения.

III. По наличию экстремальных значений и перегибов:

· процессы, имеющие экстремальные значения;

· процессы, имеющие переходы от возрастания к убыванию или наоборот.

Для выявления типа развития могут использоваться различные методы и критерии, в частности известные способы сглаживания:

· сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

· выравнивание с применением кривой, приведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Выбор метода выявления основной тенденции развития зависит от технических возможностей счета и от умения применять соответствующие методы, а также от задач, стоящих перед исследованием.

Если надо дать общую картину развития, его грубую модель, основанную на механическом повторении одних и тех же действий по увеличению интервала времени, то можно ограничиться методом скользящей средней.

Если же исследование требует подробного аналитического выражения движения во времени, то метод скользящей средней будет недостаточным. Надо использовать метод конечных разностей или метод наименьших квадратов.

Все методы выявления основной тенденции развития определяются на основе изучения фактического развития динамики. Они не отрываются от наблюдаемого статистикой эмпирического материала.

Методы выявления основной тенденции развития имеют разное логическое содержание и поэтому применяются ко временным рядам для разных целей. Основная их цель, как уже говорилось, заключается в том, чтобы вскрывать общие закономерности развития, затушеванные отдельными, иногда случайными обстоятельствами. Однако каждый из них имеет свои особенности.

Метод скользящих средних используется в том случае, когда необходимо представить общую картину развития, основанную на механическом повторении одних и тех же действий по увеличению интервала времени.

Метод скользящих средних дает оценку среднего уровня за некоторый период времени: чем больше интервал времени, к которому относится средняя, тем более плавным будет сглаживаемый уровень, но тем менее точно будет описана тенденция исходного ряда динамики.

Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д.

Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя следующий. Отсюда название – скользящая средняя.

Каждая скользящая средняя – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.

Если число членов скользящей средней обозначить через 2к, то срединным будет уровень, относящийся к «к+1/2» члену ряда, т.е. имеет место сдвиг периода, к которому относится уровень.

Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим периодами, следующая средняя – к середине между третьим и четвертым, и т.д. Для устранения этого используют процедуру центрирования, которая заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате.

Метод простой скользящей средней приемлем, если графическое изображение ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления.

Покажем расчет 3-х и 4-членных скользящих средних на примере данных об объеме платных услуг населению одного из регионов РФ за период января-декабря 2013 г. (таблица 2.8).

Таблица 2.8

Расчет 3-х и 4-членных скользящих средних объема
платных услуг населению (цифры условные)

В случае, когда тенденция исходного ряда, характеризующего исследуемый процесс, не может быть описана линейным трендом, наиболее надежным является использование взвешенной скользящей средней.

Взвешенная скользящая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами.

Это связано с тем, что аппроксимация сглаживаемого ряда динамики в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием уровней, рассчитанных по полиному /i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания/.

Полином первого порядка – есть уравнение прямой, следовательно, метод простой скользящей средней является частным случаем метода взвешенной скользящей средней. Коэффициенты находятся методом наименьших квадратов.

На первом этапе сглаживания определяются интервал сглаживания и порядок аппроксимирующего полинома. Принято считать, что при использовании полиномов высоких степеней и при меньших размерах интервалов сглаживание ряда динамики будет более гибким.

Центральная ордината параболы, например, принимается за сглаженное значение соответствующего фактическим данным уровня. Поскольку отсчет времени в пределах интервала сглаживания производится от его середины, то сглаженное значение уровня равно параметру а подобранной параболы и является соответствующей скользящей средней.

Поэтому для сглаживания нет необходимости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как величину а можно получить как взвешенную среднюю из «к» уровней.

Например, если в интервал сглаживания входят пять последовательных уровней ряда со сдвигом во времени на один шаг, а выравнивание проводится по полиному второго порядка, то коэффициенты полинома находятся из условия:

(2.21)

Учитывая, что для нечетных , получаем систему:

(2.22)

Для определения необходимо найти значения и .

Так как интервал сглаживания равен к=5, то и .

Нормальное уравнение, определяющее и , в этом случае записывается следующим образом:

Решение этой системы относительно может быть представлено следующим образом:

Аналогичным путем получают выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка.

)

Согласно приведенным формулам, веса симметричны относительно центрального уровня и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

По данным рассмотренного выше примера об объеме платных услуг населению одного из регионов РФ за период январь – декабрь 2009 г. произведем расчет 7 – ми членных скользящих средних и проанализируем на их основе характер тенденции исходного временного ряда (таблица 2.9).

В качестве аппроксимирующего полинома примем параболу второго порядка, параметры которой могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

(2.23)

Отсчет времени в пределах интервала сглаживания произведем от его середины, то система уравнений упростится до следующего вида:

. (2.24)

Промежуточные расчеты взвешенных скользящих средних более подробно могут быть представлены следующим образом:

1.

2.

3.

4.

5.

6. ;

Анализ данных табл. 2.9 показал, что взвешенная скользящая средняя (гр. 18) на протяжении всего периода возрастает, т.е. за период с января по декабрь 2013 г. наблюдается рост объема платных услуг населения одного из регионов РФ.

Метод плавного уровня по величине среднего абсолютного прироста придает изменению во времени характер изменения по прямой линии, а по величине среднего темпа роста – по показательной кривой.

И тот и другой методы не покажут, как происходило развитие, так как их плавный уровень целиком зависит от начального и конечного уровней динамики.

Метод Лагранжа является формальным методом, позволяющим установить математическую зависимость между уровнем временного ряда и временем, к которому он относится.

Обобщением этой типизации и является моделирование (нахождение аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени).

Метод аналитического выравниваниязаключается в нахождении аналитической функции, выражающей развитие явления за рассматриваемый период времени. При этом решаются следующие задачи:

· выбор вида уравнения, отображающего тип развития;

· анализ схемы сбора фактических данных и определение параметров модели;

· определение методов преобразования исходных данных с целью сведения сложных уравнений к более простым;

· выявление степени близости теоретических и фактических данных.

Найденная модель позволяет получить выровненные или, другими словами, теоретические значения уровней.

Пример. Определим основную тенденцию ряда динамики объема платных услуг населению одного из регионов за январь – декабрь 2013 г. (цифры условные).

Рассмотрим определение тенденции на основе полинома первой и второй степени, то есть прямой и параболы второго порядка, промежуточные расчеты параметров которых приведены в таблице 2.10.

Для уравнения прямой параметры определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Для уравнения параболы второго порядка параметры могут быть определены на основе решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

(2.25)