Свойства дифференциальной функции

Свойство1. Дифференциальная функция неотрицательна ѓ(х)≥ 0, т.к. ѓ(х) есть производная от неубывающей функции. Геометрически это означает, что график функции ѓ(х) лежит не ниже оси абсцисс.

Свойство 2.. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1

.

Геометрически это означает, что площадь бесконечной полосы, ограниченной осью Ох и кривой ѓ(х), равна 1.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат (а, в) , то

.

Вероятный смысл дифференциальной функции

Пусть Х – непрерывная случайная величина, F(x) её интегральная функция распределения.

По определению

F(x+Дx)-F(x)=P(x<X<x +Дx)

- средняя плотность вероятности на (x, x+Дx)

- плотность вероятности в точке х.

Итак, дифференциальная функция f(x) определяет плотность

распределения вероятности для каждой точки.

Известно, что F(x+Дx)-F(x)≈dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx .

Итак, F(x+Дx)-F(x)≈f(x)dx=f(x)Дx .

Вероятностный смысл последнего равенства такой: вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее (x, x + Дx), приближённо равна ( с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно Δx ) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Δx.