Независимых испытаниях.

Дисперсия числа появлений события в

Свойства дисперсии.

Дисперсия дискретной случайной величины

В независимых испытаниях.

Математическое ожидание числа появлений события

Свойства математического ожидания

1. Mатематическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине

М(С) =С.

Действительно, М(С) =С ^. Р = С ^. I = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

М (СХ) = С ^. М (Х).

3. М (Х + У) = М (Х) + М (У), т.е. математическое ожидание суммы двух ( или нескольких) случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Следствие 1. Если С – постоянная величина, то

М (Х + С) = М (Х) +С.

Следствие 2.Математическое ожидание разности любых двух случайных величин равно разности математических ожиданий этих величин, т.е. М (Х –У) = М (Х) – М (У).

Определение 1. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Определение 2. Несколько случайных величинназываются взаимно независимыми, если закон распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

4. Если Х и У - независимые, то

М (Х ^. У) = М (Х) ^. М (У).

Если X,У,Z - взаимно независимые, то

М (X ^. У ^. Z ) = М(Х) ^. М(У) ^. М( Z)

Задача.Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если р – вероятность появления события А в одном испытании.

Пусть производится n независимых испытаний, р – вероятность появления события А в каждом испытании. Тогда среднее число появлений события А в n испытаниях вычисляется по формуле:

М(Х) = nр.

Эта же формула применяется и при нахождении М (Х)при биномиальном распределении.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

D(Х) = М [ Х – М(Х)] ²

Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания. На практике для вычисления дисперсии используется следующая формула:

D(Х) = М(Х ²) - [ М(Х)] ²

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

D(С) =0,

где С = const.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(СХ) = С ^{2 .} D(Х).

3. Если Х и У – независимые случайные величины, то

D(Х+У) =D(Х)+D(У).

D (Х+С) = D(Х),

где С = const.

1. Если X,У,Z – взаимно независимые случайные величины, то

D(Х+У+Z) = D(Х) +D(У) + D(Z).

Рассмотрим сначала случайную величину: “число появлений события А в одном испытании”

М(Х) = 0 ^. (1 – р) + 1 ^.р = р

М(Х ²) = р

D(Х)=М(Х ²) – М ²(Х) = р – р² = р(1 – р) = рq

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда дисперсия числа появлений события А в этих п испытаниях вычисляется по формуле:

D(Х) = npq

Замечание: Эта те формула применяется для нахождения дисперсии дискретной величины, распределённой по биномиальному закону.