Вероятный смысл математического ожидания

Случайной величины

Математическое ожидание дискретной

Задание случайной величины при помощи закона распределения вероятностей является громоздким и неудобным. Естественно, возникает мысль о том, нельзя ли характеризовать случайную величину какими-либо числами, которые суммарно описывали бы закон распределения вероятностей и давали бы информацию о случайной величине более сжато или, как говорят математики, в более свёрнутом виде. Оказывается, можно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайных величин.

Основными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений этой величины на соответствующие им вероятности.

М(Х) = х₁ р₁ + х₂ р₂ +…..+ х_п р_п =

где х₁, х₂, ….., х_n - все возможные значения случайной величины Х;

p₁ , р₂ ,…,р_п - соответствующие им вероятности.

Пусть произведено n независимых испытаний, в которых случайная величина Х приняла:

m₁ раз значение х₁,

m₂ раза значение х₂,

…………………………..

m_к раз значение х_к,

где m₁ + m₂+…….+m_к = n.

При большом количестве испытаний математическое ожидание случайной величины Х приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений этой случайной величины (тем точнее, чем больше число испытаний).

где n = m₁ + m₂ + ……..+m_к.