Локальная теорема Лапласа

Теорема Лапласа.

В независимых испытаниях

Наивероятнейшее число появлений события

Частные случаи формулы Бернулли

1. Вероятность Р_n(n) появления события А n раз в n независимых испытаниях равна:

Р_n(n) = pⁿ.

2. Вероятность Р_n(0) непоявления события А ни разу в n независимых испытаниях равна:

P_n(0) = qⁿ.

3. Вероятность появления события А не менее k раз в n независимых испытаниях равна:

P_k = P_n(k) +P_n(k+1) +……..+P_n(n) или P_k =

Определение.Число k₀ наступлений события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает ( или по крайней мере, не меньше) вероятностей остальных исходов испытаний.

Для определения наивероятнейшего числа появлений события А в n независимых испытаниях используется формула

np - q < k₀ < np+p,

где р- вероятность появления события А в каждом из n испытаний, q =1 – р.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p, где

0 < p < 1.

Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1-p.

Тогда вероятность Рn(k) того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

P_n(k) = C_n^{k .}p^{k .} q ^n-k.

Однако использование этой формулы часто бывает связано с большими затруднениями. Упростить вычисления позволяет локальная теорема Лапласа

, где

или , где

Функция четная и её значения находятся по специальным таблицам.