Сложение чисел в обратном и дополнительном кодах

Обратный код

Дополнительный код

Представление двоичных чисел со знаком. Прямой код

В двоичной арифметике, как и в обычной, различают положительные и отрицательные числа. В двоичной системе счисления существует три способа представления чисел со знаком.

- представление абсолютной величины и знака отдельно (или прямой код);

- представление отрицательных чисел в дополнительном коде;

- представление отрицательных чисел в обратном коде.

Условно принято знак “+” обозначать 0 и знак “-” - 1. Знак располагается перед числом в позиции самого старшего разряда. Например, число +10 в прямом коде будет представляться как 0½1010пк, а -10 ® 1½1010пк.

Этот код достаточно часто используется в машинах. Операции над такими числами реализуются как в обычной алгебре: осуществляются операции над модулями чисел и их знаками раздельно. В случаях представления чисел в дополнительном или обратном кодах нет необходимости специально учитывать знак числа. Осуществляя операции над двоичными представлениями чисел, включая и знак как обычный разряд, получают результат в том же самом коде, независимо от знака чисел.

Чтобы представить отрицательное число в дополнительном коде, необходимо поменять нули на единицы, единицы на 0 и добавить единицу к самому младшему разряду.

Пусть необходимо представить число -10 в дополнительном коде.

Двоичный эквивалент +10 = 0½1010пк.

Дополнительный код получается следующим образом:

 

1½0101

+ 1

¾¾¾¾

1½0110дк = -10

Можно предложить другой способ перехода к дополнительному коду: необходимо оставить без изменения все нули в младших разрядах и первую младшую единицу, а остальные разряды проинвертировать.

Чтобы представить отрицательное число в обратном коде, необходимо заменить все 1 на 0, а все 0 на 1 и поместить 1 в знаковый разряд.

Пример, возьмем то же самое число -10. Двоичный эквивалент +10 = 0½1010пк, откуда получаем обратный код -10: 1½0101ок.

В случае представления чисел в обратном коде знаковый разряд числа рассматривается как обычный знаковый разряд. Если существует перенос из знакового разряда, он добавляется к младшему разряду результата. Если полученный результат отрицателен, то он представляется в обратном коде.

Существует 4 возможных случая сложения двух чисел X и Y.

Пусть X>0, Y>0 и X = +10, Y = +4. Тогда

X® 0½1010ок +10

+ 0½0100ок +4

¾¾¾¾¾¾¾¾

0½1110ок > 0 ® 0½1110пк = +14.

2. X<0, Y<0, X = -10 Y = -4

X® 1½0101ок (-10)

+ 1½1011ок (-4)

¾¾¾¾¾¾¾¾

(1) 1 0000ок = 1½1110пк = -14.

3. X>0, Y<0 и ½X½>½Y½, X = +10, Y = -4

0½1010

+1½0100

¾¾¾¾¾

(1)0|0101

¾¾¾¾¾

0½0110ок > 0 ® 0½0110пк = +6.

4. X>0, Y<0, ½X½<½Y½и X = +4, Y = -10

0½0100

+1½0101

¾¾¾¾¾

1½1001ок< 0®1½0110пк = -6.

В случае сложения чисел, представленных в дополнительном коде, единица переноса из знакового разряда игнорируются.

Для вычитания двух чисел необходимо заменить знак на противоположный у вычитаемого и выполнить сложение.

Умножение сводится к последовательности сложений и сдвига частичных произведений.

Операция деления может быть сведена к последовательности вычитаний и сдвигов кодов.

Следовательно, ЭВМ выполняет только одну арифметическую операцию сложение, сдвиг кодов и логические операции.

Контрольные задания

1.1. Перевести число 0,19 из десятичной системы счисления в двоичную, а число 11001,101 из двоичной в десятичную систему. Затем выполнить операцию (-27)+(-37) над двоичными представлениями чисел в обратном коде.

1.2. Перевести число 6352 из восьмеричной системы счисления в двоичную, а число 1010,1101 из двоичной в десятичную систему. Затем выполнить операцию 68:24 над двоичными представлениями чисел в прямом коде.

1.3. Перевести число 792 из десятичной системы счисления в восьмеричную, а число 10,0111 из двоичной в десятичную систему. Затем выполнить операцию (-61) +(-23) над двоичными представлениями чисел в дополнительном коде.

1.4. Перевести число 0,7 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, а число 1000010001001,01 из двоично-десятичной в десятичную. Затем выполнить операцию 68-47 над двоичными представлениями чисел в дополнительном коде.

1.5. Перевести число 97,9 из десятичной системы счисления в восьмеричную, а число 10110,011 из двоичной в десятичную. Затем выполнить операцию 91-80 над двоичными представлениями чисел в обратном коде.

1.6. Перевести число 0,297 из десятичной системы счисления в двоичную, а число 5A3D из шестнадцатеричной в десятичную. Затем выполнить операцию –35-18 над двоичными представлениями чисел в обратном коде.

1.7. Перевести число 74,35 из десятичной системы счисления в двоичную, а число 726 из восьмеричной в десятичную. Затем выполнить операцию 46:20 над двоичными представлениями чисел в прямом коде.

1.8. Перевести число 251 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, а число 1000011101,00111 из двоичной в восьмеричную. Затем выполнить операцию 53-84 над двоичными представлениями чисел в обратном коде.

1.9. Перевести число 0,927 из десятичной системы счисления в двоичную, а число C2F,B из шестнадцатеричной в десятичную. Затем выполнить операцию 342-475 над двоичными представлениями чисел в прямом коде.

1.10. Перевести число 297 из десятичной системы счисления в восьмеричную, а число 11000100111,01 из двоично-десятичной в десятичную. Затем выполнить операцию 35-48 над двоичными представлениями чисел в обратном коде.

Глава 4. Логические основы ЭВМ

Информация, обрабатываемая в ЭВМ, представляется с помощью физических величин, которые могут принимать только два устойчивых состояния и называются «двоичные переменные».

Вычислительные устройства, или, в общем случае, устройства обработки информации, представляют собою совокупность элементарных логических схем, т. е. простых схем, обрабатывающих эти величины. И именно булева алгебра позволяет теоретически изучать поведение логических схем, основываясь на некотором числе операций над логическими переменными.