Отношение эквивалентности

Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на множестве А.

Отношение Г называют рефлексивным, если aГа для всех a A.

Отношение Г называют симметричным, если аГb bГа.

Отношение Г называют транзитивным, если аГb, bГа аГс.

Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D={(x;y)| sin x = sin y}.

1. D – рефлексивно, так как для любого R ( ) D, т.е. для любого x R имеем sin x = sin x.

2. D – симметрично, так как для любой пары ( , ) D имеем ( ) D, т.е. для любых R из (x,y) D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x) D.

3. D – транзитивно, так как для любых а,b,c R из того что ( ) D и ( ) D следует, что ( ) D, т. е. если (x,y) D, то sinx=siny, если (y,z) D, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) D.

Из 1., 2., 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).

2. Упражнение. Выяснить, является ли отношением эквивалентности, если х у = {(x,y)| x = 3y}.