Отображения. Инъективные и сюръективные отображения

Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное отображение А В.

Отображение А В называется инъективным, если разные элементы множества A переходят в разные элементы множества B: если а в, то .

Отображение А В называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет свой прообраз в множестве А.

Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно называется биективным.

1. Пусть f: R R задано формулой f(x) = x2-1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.

Область определения функции – R, область значений функции –
[-1;+ ).

1. f – отображение. Если (х,у) f и (х,z) f , то y = z, так как (x,y) f, т.е. y = x2-1, (x,z) f, т.е. z = x2-1.

2. Найдутся х1, х2 R,такие что х1 х2, но: f(x1) = f(x2), например, пусть х1 = 1, х2 = -1, тогда f(x1) = 0 и f(x2) = 0, т.е. х1 х2, а f(x1) = f(x2). Таким образом, это неинъективное отображение.

3. Так как область значений функции [1;+ ) не совпадает с R, то отображение несюръективно.

2. Пусть f: R R задано формулой f(x) = x4. Является ли отображение инъективным, сюръективным?

1. Поскольку х1=2 R, х2 = -2 R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х1 х2, а f(x1) = f(x2), то отображение неинъективно.

2. Для любого x R не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х4 -16, поэтому отображение несюръективно.

3. Пусть отображение f: [0;+ ) [0;+ ) задано формулой f(x)=x2. Является ли оно инъективным, сюръективным?

1. Для любых х1, х2 [0;+ ), х1 х2, f(x1)=x12, f(x2)=x22, но f(x1) f(x2), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) - инъективное отображение.

2. Для каждого значения f(x) [0;+ ) найдётся х [0;+ ), поэтому f(х) - сюръективное отображение.

из 1. и 2. следует, что отображение биективно.