Множества. Операции над множествами

Элементы теории множеств

РАЗБОР ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ

Объединением множеств А и В называется множество А В = {x|x А или х В}.

Пересечением множеств А и В называется множество А В = {x|x А и х В}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В = {х|х А и х В}.

Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется множество всех пар вида (а, b), где а А, b В.

1. Найти пересечение, объединение, разности и прямое (декартово) произведение множеств А и В.

а) А = {-1;0;3;4}, В = {0;4;6}

А В = {-1;0;3;4;6}.

А В = {0;4}.

А\В = {-1;3}; В\А={6}

= {(-1,0), (-1,4), (-1,6), (0,0), (0,4), (0,6), (3,0), (3,4), (3,6), (4,0), (4,4), (4,6)}.

б) А = [0;2], B=[1;5].

A B = [0;5]

A B = [1;2]

A\B = [0;1); B\A = (2;5]

= {(x;y)| x [0;2], y [1;5]}.

2. Доказать методом встречных включение и продемонстрировать на диаграммах Эйлера-Венна

A\(B C) = (A\B) (A\C).

Обозначим левую часть Х, правую часть У. Докажем, что Х = У.

1. Докажем, что Х У. Пусть выбран произвольный элемент х Х, т.е. х А\(B C). Значит, х А и х B C, поэтому х А, х B и х С, тогда х А\B и х А\С, следовательно, х (А\B) (А\С). Значит, х у. Так как элемент x выбран произвольно, то Х У.

2. Докажем, что У Х. Пусть выбран произвольный элемент у У, т.е. у (А\B) (А\C). Значит, у (А\B) и y (A\C). Тогда у А и у В, у А и у С, следовательно, у А и у (B C), поэтому у А\(B С). Значит, у Х. Так как элемент y выбран произвольно, то У Х.

Из 1. и 2. следует, что Х = У (рис.1).

3. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий язык, 42 – французский язык, 8 – английский и немецкий язык, 10 – английский и французский язык, 5 – немецкий и французский язык и 3 студента – все 3 языка. Сколько человек не изучают ни одного языка? Сколько изучают только французский язык?

Пусть u – множество студентов. По условию мощность множества |u|=100 (рис.2). Пусть А – множество студентов, изучающих английский язык, N – множество студентов, изучающих немецкий язык, F – множество студентов, изучающих французский язык.

По условию |A| = 28, |N| = 30, |F| = 42, |A N| = 8, |A F| = 10, |N F| = 5, |A N F| = 3.

Необходимо найти множество студентов, не изучающих ни одного языка, т.е. |u\(A N F)| = |U| - (|A| + |N| + |F|) + |A N| + |A F| + |N F| - |A N F| = 20 и множество студентов, изучающих только французский язык |F\(A N)| = |F| - (|A F| + |N F|) + |A N F| = 30.