Витрати роботи залежно від етапу руйнування
Для визначення цієї роботи він припускає, що тіло, яке розмелюється, має постійну об’ємну частку одноразового руйнування а0, тобто ділиться на а0 частинок. Початковий розмір тіла позначено через D, розмір кінцевих частинок – d, а розмір проміжних частинок: d1, d2, d3, …dn . У зв’язку з цим перед першим руйнуванням тіло має об’єм D3 і поверхню 6 D2.
.
Після першого руйнування отримують а0 частинок розміром d1 , об’ємом d 
і поверхнею6d 
кожна. Тоді загальна поверхня всіх частинок буде а06d , азагальна робота, яка витрачається за такого подрібнення,
.
Після другого прийому подрібнення з кожної частинки розміром отримують теж а0 частинок, але вже розміром d2. При цьому об’єм кожної частинки буде d 
, а її поверхня 6d 
. Загальна кількість частинок буде а0а0=а 
, а їх поверхня а0а0 = а . Робота, яка витрачається при цьому:
А2 = 
= 
.
Після третього руйнування з кожної частинки розміром d2 отримують а0 частинок розміром d3, об’ємом 
і поверхнею 6d 
кожна. Загальна кількість частинок а0а0а0= а 
, а їх поверхня: а 6d .
Виконувана при цьому робота
А3= 
= .
За отриманими результатами зроблено висновок, що за n-го циклу руйнування з кожної частинки розміром 
отримують а0нових, розмір якихd,об’єм d3 і поверхня d3 . Загальна кількість таких частинок а0а0а0…аn = а 
, а їх поверхня а6d2. Виконувану роботу визначають за формулою
Аn = 
= .
Для спрощення подальшого викладу припускається:
d1 = 
; d2 = 
= 
;
d3 = 
= 
; d 
= 
; d = 
= 
.
Припускається також, що 
= i0– лінійний ступінь одноразового руйнування.
Узагальнені дані, які показують затрати роботи на одиницю створюваної поверхні залежно від етапу руйнування, наведено в табл. 2.2.
Таблиця 2.2
| Етап руйнування | Створювана поверхня | Питома робота |
| Перший | 
| 
|
| Другий | 
| 
|
| Третій |
| 
|
| n - й |
| 
|
П. М. Сіденко звертає увагу на те, що, як видно з табл. 2.2, у всіх виразах для питомої роботи чисельники однакові. Водночас знаменник збільшується у зв’язку зі збільшенням показника степеня величини і, яка завжди більша за одиницю. Із цього він робить висновок, що з переходом до наступного етапу руйнування питомі витрати енергії зменшуються, а не залишаються постійними, як це передбачає теорія Ріттингера. Це свідчить про те, що створювана нова поверхня внаслідок руйнування матеріалів є важливою характеристикою процесів подрібнення, але не завжди може бути мірою витрат енергії на ці процеси у зв’язку з тим, що між нею та енергією немає прямої залежності, яку знову таки передбачає теорія Ріттингера. На думку П. М. Сіденка, це є основною слабкістю теорії Ріттингера, а не те, як вказують деякі вчені, що вона не враховує шлях, на якому діє руйнівна сила. Цей шлях враховується в питомій роботі А0, яку визначають експериментально.
Далі П. М. Сіденко зазначає, що кількість циклів руйнування n, потрібних для отримання з тіла, розмір якого D, частинок розмірами d за ступеня одноразового руйнування 
, можна визначити таким чином. Для отримання 
з розміром частинок d має бути n циклів руйнування. При цьому об’ємний ступінь руйнування має бути:
або 
, або 
.
Тоді загальну роботу, яка витрачається на цей процес, можна визначити за формулою
. (2.8)
Для визначення середніх витрат поверхневої питомої роботи необхідно знати створювану під час розмелювання поверхню. Цю поверхню можна визначити, якщо скласти поверхні, отримувані внаслідок кожного циклу руйнування. Тоді загальна поверхня
.
Оскільки вираз у другій дужці є геометричною прогресією зі знаменником 
, то сума її членів
.
З урахуванням цього
, (2.9)
а середня поверхнева питома робота
, (2.10)
де 
а 
.
Формули (2.8, 2.9, 2.10) отримано з передбачення того, що тіло, яке руйнується, однорідне, абсолютно пружне і ділиться на частинки за визначеним законом. Ці умови здебільшого не виконуються і тому формули не завжди прийнятні для точного аналітичного опису процесів подрібнення. Водночас їх можна використовувати для якісної оцінки процесів подрібнення матеріалів в тих чи інших подрібнювачах і надання практичних рекомендацій.
Проводячи аналіз отриманих виразів, П. М. Сіденко звертає увагу на те, що згідно з формулою (2.8) витрати енергії зі зменшенням ступеня одноразового подрібнення а0збільшуються. Але вона не може бути меншою ніж два у зв’язку з тим, що мінімальна кількість частинок унаслідок руйнування однієї дорівнює двом.
Таким чином, якщо а = 2, то
.
За крупного, середнього та дрібного подрібнень, коли i = 3…5, теоретичні витрати енергії будуть становити:
,
а за тонкого розмелювання, якщо i = 100, витрати енергії:
.
Отже, з цього випливає, що витрати енергії за тонкого розмелювання мають бути в 3 – 4 рази більші, ніж за крупного, середнього та дрібного. Але насправді вони значно більші.
Як зазначалось, отримані формули дозволяють теоретично виконати порівняльну оцінку подрібнювачів. Вона показує, що сучасні млини для тонкого розмелювання менш досконалі, ніж агрегати для інших видів подрібнення.
Формулу (2.8) також можна використовувати для оцінювання енергетичних витрат на розмелювання матеріалів на тому чи іншому обладнанні, якщо для них ввести коефіцієнт корисної дії (ККД) подрібнювача. Так, якщо продуктивність подрібнювача G (кг/год), насипна щільність 
(кг/см3), а початковий середній об’єм кусків 
, (см3), то тоді об’ємна продуктивність у моноліті буде 
, а продуктивність у кусках 
. При цьому витратна робота може бути такою:
,
або після скорочення:
.(2.11)
Для зведення роботи до потужності потрібно вираз (2.11 ) помножити на значення 1/36 .10-5.
Крім того, варто враховувати витрату енергії на тертя в середині матеріалу і матеріалу відносно робочих поверхонь подрібнювача та на пружну деформацію кусків матеріалу без руйнування. Ці витрати у більшості пристроїв для подрібнення великі і залежать від їх конструкції та організації процесу подрібнення. З урахуванням загального ККД 
потужність подрібнювача можна визначити за рівнянням
.
Якщо об’ємний ступінь подрібнення не може бути меншим за 2, то в разі а0= 2 максимальна теоретична витрата енергії на подрібнення
де sр – межа міцності на стискання, Н/м2; Е – модуль пружності, Н/м2; G – продуктивність за конкретним матеріалом, кг/г; h– ККД подрібнювача; i = D/d; D, d – відповідно початковий і кінцевий розміри частинок матеріалу.
Виконуючи розрахунки, слід ураховувати, що значення sрта Е здебільшого не постійні і залежать від складу матеріалу, його стану та інших чинників. Тому їх потрібно визначати або оцінювати для кожного окремого випадку.
Як зазначив Чарльз, розглянуті та деякі інші закони формально можна описати емпіричним рівнянням:
(2.12)
де 
– енергія, передана одиниці об’єму тіла, що руйнується; х – середній розмір частинок; S – питома поверхня; с^^, c^, m – емпірично підібрані сталі.
Інтегрування виразу (2.12), якщо m = 1, приводить до виразу
(2.13)
де S0 – початкова питома поверхня твердого тіла.
Вираз (2.13) являє собою відомий закон Кірпічова – Кікка. Інтегрування виразу (2.12) при m =2 дає рівняння Ріттингера.Вважається, що теорія Ріттингера сприйнятна для визначення енергетичних затрат при дрібному подрібненні, а теорія Кірпічова – Кікка – при дрібному, середньому та грубому подрібненнях. Однак встановлення зв’язку між енергетичними затратами і результатами подрібнення продовжує залишатися центральною темою теорії подрібнення.
Це зумовлено тим, що часто процес подрібнення відбувається за наявності рідкого середовища і ПАР.
Вплив ПАР помітний навіть за їх вмісту соті частки. У більшості ж праць вплив середовища на процес подрібнення не враховується. Не враховується також процес агрегування дрібних частинок, особливо помітний для порошків з питомою поверхнею 10…20 м2/г.
У багатьох працях з теорії подрібнення не брали до уваги те, що руйнування твердих тіл супроводжується пластичною деформацією, на яку витрачається частина енергії. Крім того, варто враховувати затрати енергії на тертя, утворення і руйнування агрегатів. Втрати енергії на зазначені процеси багато в чому залежать від питомої поверхні порошків. Ці прогалини заповнені виведенням рівняння кінетики подрібнення
Г. С. Ходаковим. Рівняння, що зв’язує затрати енергії на подрібнення і дисперсність порошків, виведено з урахуванням витрат енергії на пластичну деформацію у поверхневих шарах та інші втрати.
Допускається, що пластична деформація відбувається у прошарку завтовшки l і не залежить від розміру частинок у разі подрібнення в рідкій фазі.
На кожну окрему дію руйнування витрати енергії на пластичну деформацію визначають об’ємом, на який розвивається ця деформація:
де х1 = a1x – середній розмір уламків руйнування; b – об’ємний фактор форми; n3 – середня кількість уламків, що дорівнює 1/а3.
Якщо розглянути процес руйнування деякого твердого тіла розміром x з урахуванням втрат енергії на незворотні деформації і ефекти на його поверхні, то енергію, потрібну для цього процесу, можна визначити за виразом:
(2.14)
де 
– густина енергії пластичної деформації, що попереджує крихке руйнування; 
; 
– поверхнева щільність роботи сил тертя, енергія утворення і руйнування агрегатів; 
– вільна енергія одиниці поверхні.
Якщо розглядати руйнування тіла розміром x+Dx, то затрати енергії будуть такими:
(2.15)
Ураховуючи рівняння (2.14) і (2.15) та приріст поверхні внаслідок руйнування ds=2a2xDx з точністю до малих 2-го порядку, отримаємо
. (2.16)
Оскільки
та 
можна записати рівняння для витрат енергії на подрібнення:
або
(2.17)
У рівнянні (2.17) перший член – затрати енергії на об’ємне деформування твердого тіла, другий – затрати енергії на непружну деформацію, роботу сил тертя і створення нових поверхонь, третій – враховує зміну об’єму ділянки пластичних деформацій у зв’язку зі змінюванням розмірів частинок.
Якщо проаналізувати рівняння (2.17), вважаючи, що за малих S
то можна знехтувати всіма членами, крім першого. У цьому випадку рівняння (2.17) набуває форми закону Кірпічова – Кікка. За досить великого значення S, нехтуючи співвідношенням l1/2x, порівняно з 
значення третього члена рівняння (2.17), яке не перевищує половини другого доданка, також досить мале порівняно з другим, і подрібнення відбувається за законом Ріттингера.
Застосовність тієї чи іншої форми рівнянь подрібнення залежить від потрібної дисперсності і визначається густинами енергій пружних і пластичних деформацій. Розглянуті рівняння справедливі для описання процесів отримання порошків більшістю застосовуваних у практиці порошкової металургії механічних методів, коли x > l. Якщо x < l, рівняння втрачає сенс. Витрата енергії на пластичне деформування у разі
x < l перестає збільшуватись зі зростанням дисперсності, і рівняння (2.17) набуває дещо іншого вигляду. Для виведення рівняння (2.17) взято в розрахунок тільки енергію, потрібну для руйнування частинок. Однак частина енергії, яка витрачається на пластичну деформацію та інші збитки, що призводить до подрібнення частинок, зменшується зі зменшенням х і майже немає за хmin – мінімальної величини подрібнюваних частинок. Частинки розміром х 
xmin енергію, що їм передається, розсіюють, або вона витрачається на деформування, яке змінює структуру твердого тіла.
Виконуючи аналіз подрібнення дрібних частинок, Г. С. Ходаков запропонував рівняння, що описує процес подрібнення з урахуванням граничного значення густини енергії, що передається тілу за одиночну дію подрібнення та з врахуванням непродуктивних затрат енергії на деформацію малих частинок:
(2.18)
Після інтегрування рівняння (2.18) в межах від S0 до S і від e = 0 до e маємо залежність між затратами енергії і результатом подрібнення в широкому інтервалі дисперсності:
, (2.19)
де Sm – питома поверхня гранично розмеленого порошку, розміри всіх частинок якого x xmin.
Виконуючи аналіз величин ( 
, що входять до рівняння (2.19), та підставляючи їх числові значення, Г. С. Ходаков пропонує рівняння, яке встановлює залежність між витратами енергії та питомою поверхнею отриманих продуктів розмелювання внаслідок розмелювання. Наприклад для розмелювання кварцу воно має вигляд:
,
де 
– дисперсність, ерг/см3; l – довжина,см; S, Sm – питомі поверхні ,см2 /см3.
Графічний вигляд цього рівняння зображено на рис. 2.19.
Рис. 2.19. Залежність питомої поверхні порошку кварцю від затрат енергії