АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ
1.1 Системы счисления. Общая форма представления чисел в позиционных системах счисления
Система счисления –это совокупность приемов и правил для наименования и обозначения чисел.
Системы счисления | |||||||
НЕПОЗИЦИОННЫЕ | ПОЗИЦИОННЫЕ | ||||||
значение каждой цифры не зависит от ее положения в последовательности цифр в записи числа | значение каждой цифры зависит от ее положения в последовательности цифр в записи числа | ||||||
Цифры –это символы, с помощью которых записываются числа.
Вид цифры – это символ, с помощью которого записывается цифра в той или иной системе счисления. Вид цифры не зависит от ее позиции в числе.
Значение цифры («вес») – это «вклад» цифры в величину числа.
Пример:
Римская система счисления. Непозиционная. Вид цифр: I, V, X, L, C, D, M. Значение цифр: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Образование чисел: XI=11 (10+1), IX=9 (10-1).
Десятичная система счисления. Позиционная. Вид цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Образование чисел: 232 – первая двойка обозначает сотни, тройка обозначает десятки, а вторая двойка обозначает уже единицы.
Алфавит –совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.
Основание системы счисления – это количество различных цифр в алфавите позиционной системы счисления.
Пусть имеется число Х в системе счисления с основанием b,состоящее из n целых и m дробных цифр aiалфавита данной системы. Тогда общая форма представления числа в позиционной системе счисления выглядит следующим образом:
Система счисления | основание | алфавит |
Десятичная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | |
Двоичная | 0, 1 | |
Восьмеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | |
Шестнадцатеричная | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Пример: Представить число в общем виде
а) 345210=3∙103+4∙102+5∙101+2∙100
|
б) 100112=1∙24+0∙23+0∙22+1∙21+1∙20
в) А2F,4216=А∙162+2∙161+F∙160+4∙16–1+2∙16–2
Задачи:
Представить числа в общем виде:
1) 7654310
2) 100101012
3) 23114
4) F23C7816
5) 234,543210
6) 1101,010112
7) 105,23768
8) 1201,2013
1.2 Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления
В вычислительной технике для физического представления чисел, подлежащих обработке, необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. С точки зрения технической реализации наиболее удобно реализовать элементы, принимающие одно из двух устойчивых состояний, например: электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто, ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена и т.д. Соответственно легко описать эти состояния, присвоив одному из них значение «1», а другому – «0». Таким образом, в ЭВМ удобно использовать двоичную систему счисления.
Но есть и неудобства: большое количество разрядов при записи двоичного представления десятичных чисел.
Для более компактной записи двоичных чисел наиболее применимыми являются системы счисления с основанием, представляющим целую степень двух. Наиболее применяемыми являются восьмеричная (8=23) и шестнадцатеричная (16=24).