Z - преобразования функций времени

x(t)	X(s)	x[nT]	X(z)
				-
l(t)	1/s	l[nT]	z/(z-l)	z/(z-l)
t	1/s2	nT	Tz/(z-l)2
	l/(s+ )		z/(z-d)	. . .
t2/2!	1/s3	(nT)2/2!	T2z(z+1) 2!(z-l)3	. . .
				. . .
	l/(s+ )3			. . .

Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы, фрагмент такой таблицы приведен выше. Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако, семейство модифицированных z-преобразований решетчатой функции для всех от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

Свойства z-преобразования изложены в [2], поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

1. Свойство линейности. Если и , то

(1.31)

2. Теорема сдвига (смещения). Если и - произвольное положительное число, тогда

(1.32)

где , m - целая, - дробная часть числа ;

если , тогда

(1.33)

3. Изображение обратных разностей

(1.34)

4. Изображение конечных сумм:

полных (1.35)

неполных (1.36)

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

(1.37)

начальное значение функции оригинала:

(1.38)

6. Свертка функций. Если F₁(z) = Z{f₁(t)} и F₂(z) = Z{f₂(t)}, то

(1.39)

и

(1.40)

7. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:

(1.41)

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату импульсной системы с ее входным воздействием f[nT], имеет следующий вид:

(1.42)

при и , для всех n < 0.

Подвергнув исходное уравнение z-преобразованию, получим

,

которое можно переписать в виде

, (1.43)

где полиномы

и (1.44)

Из (1.43) находим изображение выходной координаты

, (1.45)

где (1.46)

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Данная запись отличается от передаточной функции для непрерывных систем тем, что переменная z в полиномах имеет отрицательные степени. Для того, чтобы была полная аналогия с передаточными функциями непрерывных систем, степень переменной z делают положительной путем домножения числителя и знаменателя выражения (1.46) на z^m . Тогда получим формулу, которая полностью аналогична записи для непрерывной функции

(1.47)

Задача получения разностного уравнения по дискретной передаточной функции решается в обратной последовательности.

Пример. Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f[nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией

Решение. Домножим числитель и знаменатель W(z) на . В результате получим

.

На основании последнего выражения разностное уравнение будет

Его решение при нулевых начальных условиях , для всех n < 0:

.

Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Структурная схема импульсной системы

Комплексный спектр решетчатой функции времени.Комплексный спектр решетчатой функции времени f[n, ] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного , определяемую следующим выражением:

при (1.48)

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену , откуда следует, что функция z является периодической функцией с периодом, равным . По этой причине комплексный спектр решетчатой функции также является периодической функцией того же самого периода:

(1.49)

и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений , длина которого равна . В качестве такого интервала принят интервал

(1.50)

Подобно любой комплексной функции спектр (1.48) может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:

(1.51)

где , , , называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции . При фиксированном значении спектр (1.51) изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении от до , конец вектора прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.