Алгебра логики.
Д е л е н и е
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.
Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная: 133518 :1638
Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6 . 81 + 3 . 80 = 51.
Пример 11. Разделим число 35 на число 14.
Восьмеричная: 438 : 168
Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.
Логика – наука, изучающая законы и формы мышления.
Историческая справка. Этапы развития логики:
I этап – формальная логика. Основатель Аристотель (384-322 гг. до н.э.), ввел основные формы абстрактного мышления.
II. этап – математическая логика. Основатель немецкий ученый и философ Лейбниц (1642-1716), предпринял попытку логических вычислений.
III этап – математическая логика (булева алгебра). Основатель – английский математик Джордж Буль (1815-1864), ввел алфавит, орфографию и грамматику для математической логики.
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего востока (Китай, Иран), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями.
Свое понимание окружающего мира человек формирует в форме высказываний, утверждений.
Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или нет.
Высказывание может быть выражено с помощью формальных языков.
Например:
1. Земля – планета солнечной системой. (истинное)
2. 1+6=10 (ложное)
Высказывания бывают простыми и сложными:
Простое высказывание – содержит только одну простую мысль.
Например: Ромб – квадрат.
Сложное высказывание содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций (и, или, не).
Например: Идет дождь или Светит солнце.
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определить истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
Простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
А= «Два умножить на два равно четыре»=1
В= «4+10=20»=0
Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – 0.
В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Составное высказывание обозначается F(A,B).
Для определения истинности или ложности составного высказывания используют таблицу истинности, в которой перечисляются всевозможные значения входящих логических переменных и соответствующие значения функций.
Количество строк q определяется по формуле q=2n, где n – количество логических переменных.
Рассмотрим логические операции:
Отрицание(Инверсия)–делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Обозначается:
Таблица истинности:
А | не А |
Например:
А = {На улице идут снег}
не А = {Неверно, что на улице идет сне}
не А = {На улице не идет снег}
– инвекртор.
Логическое умножение (конъюнкция)– истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Обозначается: &.
Таблица истинности:
А | В | F |
Например:
А={Идет дождь}and{светит солнце}.
В={2+6=8}^{20*2=40}
– конъюнктор.
Логическое сложение (дизъюнкция) – истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний.
Обозначается: +, или, or, Ú.
Таблица истинности
А | В | F |
Например:
А={5+9=14}или{10*3=20}
В={Олег блондин}Ú{Олег брюнет}
– дизъюнктор.
Закрепление материала.Придумайте высказывания о себе. Пять из которых, будут ложными, и пять истинными. Домашнее задание.Угринович стр.122-125.