Параметрично і неявно.
Покажемо на прикладі, як знаходити похідну другого порядку від функції, заданої неявно. Розглянемо неявно задану функцію:
Продиференціюємо дане рівняння по змінній х, маючи на увазі, що 
:
.
Виразимо з отриманої рівності похідну
. (9.3)
Рівність (9.3), де , знову диференціюємо по х:
В останній вираз підставимо першу похідну з (9.3):
.
Аналогічно можна знайти похідну будь-якого порядку від функції, заданої неявно.
А тепер знайдемо другу похідну від функції, заданої параметрично. Розглянемо функцію
. (9.4)
Нехай функція 
має обернену функцію 
. Як ми вже знаємо з попереднього розділу, перша похідна функції (9.4) має вигляд
.
Продиференціюємо останню рівність по змінній х:
.
Таким чином,
або
.
Аналогічно можна знайти похідні більш високих порядків.
Приклад 9.6. Знайти другу похідну функції 
, заданої параметрично
Розв’язування.
.
9.6. Механічний зміст другої похідної.
Нехай задано закон поступального руху 
. З підрозділу 7.3 відомо, що швидкість тіла в даний момент часу дорівнює похідній від переміщення s по t: 
. Якщо тіло рухається нерівномірно, то швидкість 
за час 
зміниться від значення 
) до – 
.
Середнім прискоренням за час називається відношення приросту швидкості 
до приросту часу 
:
,
а середнім прискоренням в даний момент часу – границя цього відношення при 
:
,
або за означенням похідної:
.
Таким чином, прискорення прямолінійного руху дорівнює другій похідній від переміщення 
по часу t, тобто 
.
Приклад 9.7. Знайти швидкість і прискорення a тіла, яке рухається прямолінійно за законом 
(м/с )в момент часу 
.
Розв’язування. Знайдемо швидкість 
і прискорення а як функції часу t:
а тепер знаходимо їх значення при 
:
9.7.Рівняння нормалі і дотичної.
Розглянемо лінію, задану функцією 
. Виберемо на ній точку 
(рис. 9.1) і складемо рівняння дотичної, вважаючи, що вона не паралельна осі ординат. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом k:
, (9.5)
де 
, 
згідно з (7.1).
Таким чином, рівняння дотичної має вигляд
. (9.6)
Часто поряд з дотичною доводиться мати справу з нормаллю до кривої.
Означення 9.4. Нормаллюдо кривої в заданій точці називається пряма, що проходить через дану точку перпендикулярно до дотичної в цій точці.
З означення нормалі й умови перпендикулярності двох прямих знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі 
через кутовий коефіцієнт дотичної 
в цій точці:
.
Таким чином, з рівняння (9.5) отримуємо рівняння нормалі
.
Приклад 9.8. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії
в точці 
.
Розв’язування. Оскільки 
, то
.
Тому рівняння дотичної матиме вигляд
або 
,
а рівняння нормалі
або 
.
Введемо ще деякі поняття, пов’язані з дотичною і нормаллю (рис. 9.1).
Означення 9.5. Довжина відрізка QM дотичної, який з’єднує точку дотику і точку перетину дотичної з віссю ОХ, називається довжиною дотичної.
Означення 9.6. Проекція дотичної на вісь ОХ, тобто відрізок QP, називається піддотичною.
Означення 9.7. Довжина відрізка MR, який з’єднує точку дотику з точкою перетину нормалі і вісі ОХ, називається довжиною нормалі, а проекція даного відрізка на вісь ОХ називається піднормаллю.
Запитання для самоконтролю.
1. Дайте означення диференціала.
2. Правило обчислення диференціала.
3. Запишіть похідну за допомогою диференціалів.
4. Сформулюйте і доведіть властивості диференціала.
5. Наближені обчислення за допомогою диференціала.
6. Що називається другою і третьою похідною?
7. Дайте означення n-ї похідної.
8. Що називається другим і третім диференціалом?
9. Запишіть похідні вищих порядків за допомогою диференціалів.
10. Як обчислюється друга похідна функції, заданої параметрично?
11. Наведіть приклад обчислення другої похідної від функції заданої неявно.
12. Який механічний зміст другої похідної?
13. Дайте означення нормалі до кривої.
14. Запишіть в загальному вигляді рівняння дотичної і нормалі.
15. Що називається довжиною дотичної, піддотичної, нормаллю?
Приклади до розділу 9.
1. Знайти приріст і диференціал функцій:
а) 
при х=1, 
.
Відп.: 
.
б) 
при х=4, 
. Відп.: 
.
2. Знайти диференціал функції:
а) 
. Відп.: 
.
б) 
. Відп.: 
.
в) 
. Відп.: 
.
г) 
. Відп.: 
.
д) 
. Відп.: 
.
е) 
. Відп.: 
.
3. Знайти значення диференціала функції:
а) 
при 
. Відп.: 0,00873;
б) 
. Відп.: 0,3466.
4. За допомогою диференціала знайти наближене значення виразів:
а) 
. Відп.: 0,8655; б) аrctg0,97. Відп.: 0,77;
в) 
. Відп.: 0,355; г) arcsin0,4983. Відп.: 0,52164.
5. Знайти похідні вищих порядків:
а) 
Відп.: 18х;
б) 
Відп.: 
;
в) 
Відп.: 
;
г) 
Відп.: ex(x+n);
д) 
Відп.: 
.
6. Знайти похідні другого порядку 
:
а) 
Відп.: 
;
б) 
Відп.: 
;
в) 
Відп.: 
; г) 
Відп.: 
;
д) 
. Відп.: 
.
7. Точка рухається прямолінійно за законом
.
Знайти прискорення а в кінці другої секунди.
8. Точка рухається прямолінійно зі швидкістю, пропорційною кореню квадратному з пройденого шляху. Показати, що рух відбувається під дією сталої сили.
9. Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої:
в точці 
.
Відп.: дотична 
, нормаль 
.
10. Під яким кутом перетинаються лінії 
.
Відп.: 
.
11. Залежність між віком корів х (роки) і добовим надоєм у (літри) виражається функцією 
. Як зміняться середньо добові надої корів, якщо їх вік збільшиться з 3 до 5 років ?
12. Урожай цукрового буряка у (т/га) виражається функцією 
відносно кількості внесених мінеральних добрив х (ц/га), якщо 
. Для інших х формула має інший вигляд. Знайти зміну врожайності цукрового буряка при збільшенні кількості внесених добрив з 4 до 6 ц/га.
13. Радіус основи картопляного бурта конічної форми рівний 5 м. Як зміниться вага картоплі в бурті, якщо його висота збільшиться на 1,5 м3. Вага 1 м3 картоплі дорівнює 4 ц?