Метод сил

Данный метод применяется для расчета статически неопределимых конструкций. В качестве неизвестных принимаются реакции опор или внутренние усилия. Порядок расчета рассмотрим на примере простой балки, степень статической неопределимости которой равна единице (рис. 1.5,а).

Рис. 1.5.

Отбрасываем «лишнюю» связь, превращая тем самым заданную балку в статически определимую. Полученная балка называется основной системой. В качестве «лишней» неизвестной может быть взята любая, не равная нулю реакция (реакция опоры или момент в заделке M_A), или изгибающий момент в любом поперечном сечении. Для рассматриваемой балки самое простое – убрать правую опору. Тогда «лишняя» неизвестная – реакция этой опоры .

Загружаем основную систему заданной внешней нагрузкой и «лишней» неизвестной. Получим так называемую эквивалентную систему (рис. 1.5,б).

Составляем условие совместности деформаций. Оно состоит в отрицании вертикального перемещения точки В:

, (1.6)

где – перемещение точки приложения силы X₁ по направлению ее действия; – перемещение точки приложения силы X₁, вызванное действием этой силы (рис. 1.5,г); – перемещение точки приложения силы X₁, вызванное действием внешней нагрузки (рис. 1.5,в).

Перемещение от неизвестной X₁ удобно представить в виде:

,

где – перемещение, вызванное действием единичной силы , приложенной в направлении действия силы X₁ по направлению ее действия (рис. 1.5,д). Таким образом, уравнение (1.6) принимает вид:

. (1.7)

Здесь уравнение совместности деформаций записано в стандартной (канонической) форме. Оно имеет такую форму вне зависимости от того, какая принята «лишняя» неизвестная – сила или момент.

Найдем коэффициенты уравнения (1.7) по правилу Верещагина (рис. 1.5,е,ж).

. (1.8)

В нашем случае количество участков n=1.

,

где – площадь эпюры ; – ордината под центром тяжести указанной площади, измеренная на той же эпюре . Мы «перемножили» эпюру саму на себя.

.

После подстановки значений и в (1.7) получим

.

Далее строим эпюры Q и M так же, как мы это делали при расчете статически определимых балок (рис. 1.6). Задача решена, статическая неопределенность раскрыта.

Рис. 1.6.

Для балки или рамы, которые имеют степень статической неопределимости более единицы, условие совместности деформаций представляет собой систему уравнений, которую записывают в каноническом виде.

Например, для дважды статически неопределимой балки она имеет вид:

(1.9)

где – перемещение от единичной нагрузки, приложенной в точке приложения силы , в направлении действия силы ; – перемещение от единичной нагрузки, приложенной в точке приложения силы , в направлении действия силы ; – перемещение от единичной нагрузки, приложенной в точке приложения силы , в направлении действия силы ; – перемещение от единичной нагрузки, приложенной в точке приложения силы , в направлении действия силы . Установлено, что = , – перемещение от внешней нагрузки в направлении действия силы ; – перемещение от внешней нагрузки в направлении действия силы .