Частотные критерии устойчивости

ЛЕКЦИЯ №7

Частотные критерии дают возможность работать с системами, имеющими запаздывание без разложения запаздывания в упрощающие ряды.

А) критерий Михайлова

Пусть САР описывается однородным ДУ Q^c(p)^.у = 0. Собственный оператор системы Q^c(p) переведем в частотную область, для этого необходимо применить преобразование Фурье (формально заменить р на jω):

Q^c(p) ® Q^c(jw) = .

Формулировка критерия: система устойчива, если годограф Q^c(jω)

Рис. 7.1. Примеры годографов Михайлова САР 4-го порядка:

1 – САР устойчива; 2 – САР на границе устойчивости; 3, 4 – САР неустойчива

Для оценки устойчивости точный вид годографа Михайлова знать необязательно, а необходимо знать точки пересечения с его осями и последовательность их расположения, т.е. значения ω, которым они соответствуют. Для нахождения этих точек можно воспользоваться двумя условиями:

= 0 – условие пересечения с осью V(ω);

= 0 – условие пересечения с осью U(ω);

(когда оба условия выполняются при одинаковых значениях ω, то система находится на границе устойчивости).

Процедура нахождения точек:

1. Решая уравнение, описывающее условие пересечения с одной из осей, определяем значения частот, соответствующих точкам пересечения, как корни этого уравнения.

2. Подставляем значения найденных частот в другое выражение, найдем точки пересечения с осью, соответствующие этим частотам.

Б) критерий Найквиста

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по годографу (АФЧХ) соответствующей разомкнутой системы с передаточной функцией: W^pc(p) = . Это произведение передаточных функций, входящих в замкнутый контур САР.

В частотной области она принимает вид:

W^pc(jw) = = A^pc(w) = U^pc(w) + jV^pc(w).

Важно: A^pc(w) = A^p(w); j^pc(w) = + j^p(w).

Индекс «о» обозначает характеристику объекта, «р» – регулятора, «рс» – разомкнутой системы.

Формулировка критерия (для случая, когда САР в разомкнутом состоянии устойчива): замкнутая САР устойчива, если годограф (АФЧХ) разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; j0).

Примеры:

На основе критерия Найквиста вводят понятие запасов устойчивости САР по модулю и по фазе. Коэффициент запаса устойчивости по модулю САР показывает насколько должна измениться длина радиус-вектора АФЧХ, т.е. A^c(ω) при неизменном j^c(ω) = –π, чтобы система вышла на границу устойчивости.

Запас устойчивости по фазе показывает, насколько должна измениться фаза АФЧХ при неизменной, равной единице, ее амплитуде – А^рс(ω) = 1 (длине радиус-вектора) чтобы система вышла на границу устойчивости.

Запасы устойчивости САР по амплитуде (модулю) DАГУ и DjГУ по фазе, можно пересчитать в запасы ее устойчивости по коэффициенту передачи и времени запаздывания объекта : ,

Рис. 7.8. Иллюстрация определения

запасов устойчивости

где w_–p – значение частоты, при которой фазовый сдвиг в разомкнутой САР равен –p;

w₁ – значение частоты, при которой значение АЧХ разомкнутой САР равно 1;

А(w_–p) – значение АЧХ разомкнутой САР при частоте w = w_–p.

ЛЕКЦИЯ №8

Области устойчивости САР в пространстве параметров регулятора и объекта

Для практики важно ответить на следующие вопросы:

1) при каких вариациях настроек параметров регулятора САР с заданным объектом будет сохранять устойчивость?

2) при каких вариациях параметров объекта САР с заданным регулятором и с рассчитанными настройками (фиксированными) будет сохранять устойчивость?

Геометрическое место точек в пространстве варьируемых параметров регулятора или объекта, при которых система будет находиться на границе устойчивости – называется границей устойчивости САР в этом пространстве параметров. Обратите внимание на двойственность понятия «граница устойчивости».

Граница устойчивости может быть найдена аналитическими, либо алгоритмическими методами (в частности – экспериментально).

Аналитические выражения, описывающие границу устойчивости, могут быть получены на основе критериев устойчивости. Поскольку при наличии запаздывания использование аналитических критериев затруднительно, то воспользуемся частотными критериями и запишем системы уравнений, которые позволяют найти необходимые аналитические выражения:

б) из критерия Михайлова (8.1)

Пример. Воспользуемся критерием Михайлова и найдем аналитическое выражение для границы устойчивости САР с объектом первого порядка с запаздыванием и ПИД-регулятором.

В п. 1.5.3. мы нашли собственный оператор такой САР:

Q^c(p) = T_изp(T_op + n) + k_ok_p(T_изT_прp² + T_изp + 1) .

В частотной области он принимает вид:

Q^c(jw) = T_изjw(T_ojw + n) + k_ok_p(-T_изT_прw² + T_изjw + 1)(coswt_o – jsinwt_o).

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим:

ReQ^c(jw) = = -T_изT_ow² - k_ok_p(T_изT_прw² + 1)coswt_o – T_изwk_ok_psinwt_o

ImQ^c(jw) = = T_изnw + k_ok_pT_изwcoswt_o – k_ok_p(T_изT_прw²sinwt_o – sinwt_o)

В соответствии с условиями устойчивости (8.1) граница устойчивости будет задаваться следующей системой параметрических уравнений:

Пусть мы хотим построить границу устойчивости в пространстве параметров регулятора: k_p, , T_пр. Параметры объекта принимаются постоянными: k₀, T₀, τ_0, ν.

Порядок построения границ:

1) задаемся диапазоном изменения ω_гу. Для простейших одноконтурных систем можно принять ω_гу Î ;

2) выбираем два из трех параметров, в плоскости которых будем строить границу устойчивости, чаще это k_p, . Третий параметр будем перебирать, получая семейство границ: T_пр = T_прi, ;

3) решаем (8.2) относительно выбранных параметров k_p, ;

4) подставляем в уравнение (8.2) численные значения параметров объекта, а также Т_прi, и перебираем ω_гу в выбранном диапазоне с мелким шагом, ждем, когда оно обратится в ноль.

5) строим границу устойчивости, подставляя ω_гу в выражения для k_p, ;

6) изменяем Т_пр и повторяем процедуру с п. 2.

=

Рис. 8.1

Т_пр1 < Т_пр2 < Т_пр3; Т_пр4 >> Т_пр3

Рис. 8.2

Важно: для И- регулятора и астатического объекта области устойчивости нет, т.е. система структурно неустойчивая. Таким образом, интегрирующий регулятор с астатическим объектом применять нельзя – так как система будет неустойчива при любом значении настроечного параметра регулятора.

Рис. 8.3. Пример границ устойчивости для астатического ОУ

Граница устойчивости в плоскости параметров ОУ позволяет оценить диапазоны их возможного изменения САР до наступления неустойчивости. Это важно для обеспечения работоспособности САР в реальных условиях.

Важно: увеличение значения приводит к уменьшению области устойчивости системы, т.е. к усложнению управления ОУ. Выше был рассмотрен аналитический подход к построению границы устойчивости. Рассмотрим алгоритмический подход, в основе которого лежит специальный эксперимент (может

Рис. 8.4. Пример границ устойчивости САР

в пространстве параметров объекта

проводиться на цифровых или аналоговых моделях, а при необходимости – на реальном объекте).

Целесообразный алгоритм нахождения границы устойчивости (см. рис. 8.5):

1) настроить Т_из ® ¥, т.е. взять П-регулятор и, изменяя k_р, найти ;

2) диапазон k_p Î [0, ] разбить на 5 – 7 интервалов;

3) для значений k_р соответствующих выбранным интервалам разбиения, подбираем такие значения , при которых переходные процессы будут слабозатухающими или слаборасходящимися.

для И-регулятора; для П-регулятора

Рис. 8.5

ЛЕКЦИЯ №9

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА САР

Ошибки стабилизации и воспроизведения САР

Входными воздействиями САР являются задающие и возмущающие воздействия (переменные). Они принципиально отличаются друг от друга тем, что в первом случае регулируемые переменные САР должны по возможности более точно соответствовать входным (задающим) переменным, во втором случае – не зависеть от входных (возмущающих) воздействий. Изменение регулируемой переменной при указанных входных воздействиях, описывается следующим уравнением движения:

y(t) = .

Подчеркнем, что для линейных систем аддитивные составляющие и y_f можно рассматривать независимо. Поэтому и ошибку регулирования Δy можно также рассматривать как сумму двух независимых составляющих:

Dy = y^зд - y = Dy_воспр + Dy_стабил,

где Dy_воспр – ошибка воспроизведения, т.е. составляющая ошибки Δy, возникающая в САР при изменяющемся y^зд и неизменном f;

Dy_стабил – ошибка стабилизации, т.е. составляющая ошибки Δy, возникающая в САР при изменяющемся f и неизменном y^зд.

Сама ошибка Δy и каждая из указанных ошибок может в свою очередь быть подразделена на составляющие: ошибки в переходных и установившихся процессах.

Качество переходных процессов в САР при ступенчатых входных воздействиях

Замечание: принято переходные процессы в САР классифицировать по их основным признакам: апериодические и колебательные. Иногда вводят третий вид переходного процесса – апериодический с колебательной составляющей.

На рис. 9.1 представлены характерные варианты переходных процессов в САР при ступенчатых изменениях y^зд и f, при нулевых начальных условиях по каналам задания и возмущения (переходные характеристики САР по этим каналам), соответствующие видам ПП.

Рис. 9.1

Прямые показатели качества переходных процессов (переходных характеристик) и их определение

Под прямыми показателями качества понимают некоторые специальные характеристики переходного процесса в САР вызванного ступенчатым входным воздействием при нулевых начальных условиях, которые определяются непосредственно из графика переходной характеристики. Среди них наиболее часто рассматриваются:

1. Максимальное динамическое отклонение Δy^max (здесь и далее см. рис. 9.2).

Рис. 9.2

2. Время переходного процесса (время регулирования) t_рег. Под временем переходного процесса будем понимать отрезок времени от момента изменения входного воздействия до момента, когда переходный процесс войдет в зону незначимых отклонений (ЗНО) и больше не выедет из нее. ЗНО определяет такие отклонения y от y^зд, которыми для конкретного ОУ можно пренебречь.

3. Динамический коэффициент регулирования. Используется только для переходных процессов по каналу возмущения и статических (с самовыравниванием) ОР. Характеризует эффективность подавления регулятором последствий возмущений, сравнивая отклонения в САР без регулятора («чистый» объект) и с регулятором:

R_д = .

4. Коэффициент перерегулирования (характеризует колебательные переходные процессы):

R_п =

5. Степень затухания:

Y = (все отклонения берутся по модулю).

ставляющей процесса; б) время переходного процесса стремится к бесконечности, если нас интересует время вхождения в ЗНО.

Нюансы: в том случае, если ПП относится к «третьему» типу, то если мы хотим оценить колебательную составляющую, то необходимо выделить апериодическую и относительно нее определить R_п или Ψ.

Регламентные зоны переходного процесса

Для конкретных ОУ, исходя из требований технологий и эксплуатации технологических машин, могут быть заданы конкретные требования к отклонениям (ошибкам регулирования) Δy. Они могут относиться:

а) к предельно допустимым динамическим отклонениям ;

б) к отклонениям, которыми можно пренебречь, т.е. ЗНО;

в) к времени существования допустимых отклонений за пределами ЗНО - t_{пп доп}.

Эти заданные, предельные, допустимые значения определяют регламентную зону переходного процесса (обычно симметричную).

Рис. 9.3. Вид регламентной зоны ПП и примеры переходных процессов,

которые 1 – удовлетворяет регламентной зоне;

2 – не удовлетворяет регламентной зоне (по Δy^max);

3 – не удовлетворяет регламентной зоне (по Δy^стат);

4 – не удовлетворяет регламентной зоне (по t_рег)

ЛЕКЦИЯ №10

Интегральные показатели качества

Прямые показатели качества характеризуют переходные процессы с разных сторон, но их весьма затруднительно использовать в качестве критериев при синтезе (оптимизации САР), поскольку основные из них противоречат друг другу. Для задач синтеза чаще используют интегральные показатели, которые характеризуют переходный процесс в целом. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся. 1. Линейный интегральный показатель І1 = , Dy(t) = yзд – y.

Рис. 10.1

Характеризует площадь под кривой ПП. Применяется только для оценки качества апериодических ПП или используется в совокупности с другими показателями (см. рис. 10.1).

2. Модульный интегральный показатель (см. рис. 10.2):

І₂ = .

3. Интегральный квадратичный показатель (см. рис. 10.3):

І₃ = .

По сравнению с I₂ в I₃ большие отклонения «штрафуются» более, малые – меньше. Очень удобно использовать при аналитических расчетах, т.к. этот интеграл можно «взять».

Рис. 10.2 Рис. 10.3

4. Интегральный квадратичный показатель, учитывающий величину скорости протекания переходного процесса

І₄ = ,

где T_y – весовой коэффициент, приводящий слагаемые показателя к одной единице измерения и отражающий своей величиной степень компромисса между требованиями минимизации площади под Dy²(t) и под .

В принципе, в состав критерия может входить большое количество производных.

5. Другие виды интегральных показателей качества

Один из характерных критериев, который требует с одной стороны минимизации площади под y²(t), с другой – под y(t), имеет вид:

І = , где a - весовой коэффициент.

Такой критерий употребляют, например, для анализа и синтеза систем многокомпонентного непрерывного дозирования.

Отметим, что при аналитических методах расчета, верхний предел интеграла – бесконечность. При использовании методов имитационного моделирования, верхний предел является конечным и равен времени моделирования. Это надо учитывать.

Статизм и астатизм типовых САР

Замечание: САР с астатическим объектами и И-регулятором структурно неустойчива.

Примеры переходных процессов в статических и астатических САР при ступенчатых и линейно возрастающих входных воздействиях представлены на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Переходные процессы в статических и астатических САР

при ступенчатых и линейно возрастающих входных воздействиях

Понятие о грубости и чувствительности САР

Система называется грубой (в смысле Андронова) в том случае, если при малых вариациях ее параметров, свойства системы, в частности, показатели качества, также изменяются мало.

Система (1) при оптимальных настройках и неизменных свойствах объекта обладает более низкими качественными показателями. Однако, если k₀ начинает изменяться в достаточно заметных диапазонах, то показатели качества системы (1) меняются сильно. Показатели качества системы (2) – незначительно. В целом, среднее значение показателя качества у системы (2) может оказаться выше, чем у системы (1). Кроме того, для системы (1) изменение k₀ может привести не только к ухудшению I, но и к потере устойчивости.

Для практики промышленных систем управления грубость системы фактически означает ее работоспособность. Негрубые системы в промышленности неработоспособны.

Система (3) совсем негрубая.

Рис. 10.5

мина «грубость» часто используется термин «робастность».

Понятие грубости трактуется как качественное понятие. Для количественной оценки влияния вариаций параметров объекта и регулятора на показатели качества системы, используется понятие чувствительности САР (САУ). В общем случае, чувствительность системы рассматривается как полная производная выбранного показателя качества САУ по всем ее параметрам. При этом частные производные по конкретному параметру, являются функциями чувствительности по этому параметру.

ЛЕКЦИЯ №11