Лекція № 11
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ (ЧАСТИНА 1)
Диференціальні рівняння (ДР) в частинних похідних складають у даний час одну з галузей чисельного аналізу, які набувають дуже швидких темпів розвитку. Області науки і техніки, де розглядаються рівняння в частинних похідних, численні і важливі. До них відносяться, наприклад, ядерна фізика, метрологія, аеро-, гідро-, теплодинаміка, теорія управління і т.п. При цьому існує достатньо невелика кількість задач, які вирішуються у явному вигляді.
Диференційні рівняння в частинних похідних класифікуються:
залежно від їх математичної природи (наприклад, еліптичні, параболічні тощо);
залежно від фізичного змісту задач, які розв'язуються з їх допомогою (рівняння дифузії, хвильове рівняння тощо).
Розглянемо рівняння 2-го порядку з двома невідомими незалежними змінними:
, (11.1)
де х, у – незалежні змінні; u – шукана функція; uх, uу, uхх, uуу – її 1-і та 2-і частинні похідні за аргументами х та у.
Розв'язком рівняння (11.1) називається функція 
, яка перетворює це рівняння в тотожність. Графік функції розв‘язку представляє поверхню у просторі ОХУ (інтегральна поверхня) (рис. 11.1).
Рисунок 11.1 – Приклади інтегральних поверхонь
Рівняння (11.1) називається лінійним, якщо воно відносно 1-го степеня шуканої функції i всіх її похідних, i не стримує їхні добутки, та може мати вигляд:
, (11.2)
де коефіцієнти А, В, С, Е можуть залежати від х, у і в окремих випадках можуть бути константами. Для класифікації ДР в частинних похідних вводиться термін дискримінант рівняння: Д = АС – В2. Залежно від знака дискримінанта Д, лінійне диференційне рівняння (11.2) можна віднести до одного з таких типів:
якщо Д > 0, то рівняння (11.2) відноситься до еліптичного;
якщо Д = 0, то рівняння (11.2) відноситься до параболічного;
якщо Д < 0, то рівняння (11.2) відноситься догіперболічного.
У наступних розділах розглянемо приклади кожного з трьох типів рівнянь з відповідними граничними умовами і розглянемо для них чисельні методи розв’язання. Слідує відмітити, що еліптичні рівняння описують установлені процеси (стаціонарні), а гіперболічні та параболічні рівняння описують еволюційні процеси.