Математична постановка задачі інтерполювання

В економіці і техніці постійно приходиться зіштовхуватися з необхідністю обчислення значень функції в точках , відмінних від значень аргументу, фіксованих в таблиці експериментальних досліджень. Крім того, в деяких випадках, незважаючи на те, що аналітичний вираз функції відомий, він є занадто складним і незручним для подальших математичних перетворень. Подібні задачі формалізуються як задачі інтерполювання.

Нехай на відрізку функція задана системою точок , де значення називаються вузлами інтерполяції. Необхідно знайти аналітичну залежність , співпадаючої у вузлах інтерполяції зі значеннями заданої функції, тобто Процес обчислення значень функції в точках , відмінних від вузлів інтерполяції, називають інтерполюванням функції (рисунок 5.1).

Якщо аргумент знаходиться за межами відрізка інтерполювання , то задача визначення значення функції в точці називається екстраполюванням.

Слідує відмітити, що задача інтерполювання стає однозначною, якщо в якості функції вибрати багаточлен степені не вище n, такий, що . Багаточлен , що задовольняє цим умовам, називають інтерполяційним багаточленом, а відповідні формули – інтерполяційними формулами.

Рисунок 5.2 – Геометрична інтерпретація інтерполяції табличної функції

У випадку, коли береться з класу степеневих функцій, інтерполяція називається параболічною. Цей спосіб наближення ґрунтується на тому, що на невеликих відрізках експериментальна функція може бути достатньо добре апроксимована параболою певного порядку. Якщо в якості інтерполяційної функції використовувати багаточлен виду:

(5.1)

то така інтерполяція називається степеневою

Інколи доцільно використати інші види інтерполяції. Якщо функція, що досліджується, – періодична, то в якості інтерполяційної функції ( ) вибирають тригонометричну, наприклад, виду:

(5.2)

і така інтерполяція називається тригонометричною. В деяких в якості інтерполяційної функції ( ) вибирають раціональні функції.

При інтерполюванні виникає ряд задач:

1. вибір найбільш зручного способу побудови інтерполяційної функції для кожного конкретного випадку;

2. оцінка похибки при заміні інтерполяційною функцією на відрізку , оскільки функції та співпадають тільки у вузлах інтерполяції ;

3. оптимальний вибір вузлів інтерполяції для отримання мінімальної похибки.

Для задачі інтерполювання важливим є визначення того, як повинна вести себе інтерполяційна функція між заданими точками, так як ці точки можуть бути інтерпольовані множиною різноманітних функцій, і необхідно мати певний критерій вибору. Звичайно критерій формується в термінах гладкості та простоти. Більшість інтерполяційних функції генеруються лінійними комбінаціями найпростіших функцій. Лінійні комбінації одночленів формують степеневі поліноми, лінійні комбінації тригонометричних функцій формують тригонометричні поліноми, використовуються також лінійні комбінації експонент . Найбільш важливим класом інтерполяційних функцій є множина алгебраїчних поліномів. Поліноми мають переваги з точки зору алгоритмізації, тому що їх значення легко обчисляти, додавати, перемножувати, інтегрувати чи диференціювати. Важливою властивістю поліномів є те що якщо с – константа, а p(x)- поліном, то поліномами будуть і p(cx) і p(x+c)

Клас інтерполяційних функції обирають, використовуючи теорему Вейерштраса: