Переклад чисел у десяткову систему числення

Переклад чисел.

5 10 50 100 500 1000

V X L C D M

Переклад чисел

Системи числення

3. Арифметичні операції із числами в різних системах числення.

1. Системи числення.

Числення – сукупність прийомів найменування й запису чисел ( окремий випадок кодування )

Система числення – це спосіб запису чисел за допомогою заданого набору спеціальних знаків (цифр)

Види систем числення:

1. Непозиційні системи числення - де кожне число позначається відповідної сукупністю символів. ( тобто їхнім додаванням або вирахуванням )

Наприклад:Римська система числення, де замість цифр використаються латинські букви.

Приклад:12 = X+I+I = XII

19 = X+ ( - I + X ) = XIX

2. Позиційні системи числення – де кожна цифра, крім власного значення несе значення розряду, у якому вона записана.

Наприклад: десяткова система числення

Підстава системи числення - це кількість цифр алфавіту даної системи числення ( n = 10 цифр).

Алфавіт системи числення - це набір символів для запису чисел у даної системі числення

Алфавіти позиційних систем числення:

Придумайте й впишіть свою систему числення.

Підстава вказує, до який системи числення відноситься це число, й записується у вигляді індексу числа.

Приклад:101101 ₂ , 3671 ₈ , 1092₁₀ , 3B8F₁₆ .

Розгорнутою формою числа називається запис у вигляді:

Аq = + ( а n-1 q + а n-2 q + … + а0 q° + а-1 q ¹ + а—2 q ² + … + а-m q )

Де Аq - саме число

q - підстава системи числення

аi – цифри даної системи числення

n - число розрядів цілої частини числа

m - число розрядів дробової частини числа

Приклад.Розгорнута форма чисел.

2 ¹6 ⁰, 3 ^-18 ^-27 ^-3 ₁₀ = 2*10¹ + 6*10° +3*10 ^-¹ + 8*10 ^-2 + 7*10 ^-3

1 ¹¹1 ¹⁰0 ¹1 ⁰ ₂ = 1*10¹¹ + 1*10¹° + 0*10¹ +1*10°

1 ³5 ²F ¹C ⁰ ₁₆ = 1*10³ + 5*10² + F*10¹ + C*10⁰

112 ₃ = 1*10² + 1*10¹ + 2*10°

У будь-який системі числення її підстава записується як 10.

Для перекладу числа з будь-якої системи числення в десяткову систему числення необхідно всі доданки недесятеричного числа в розгорнутій формі представити в 10 с/с і обчислити отримане вираження за правилами десяткової арифметики.

Приклади

2 1 0

112₃ = 1*3² + 1*3¹ + 1*3° =9+3+2=14₁₀

3 2 1 0

1101 ₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2° = 8+4+1 = 13 ₁₀

3 2 1 0

15FC ₁₆ = 1*16³ + 5*16² + 15*16¹ + 12 *16 ⁰= 4096+1280+240+12=5628 ₁₀

Переведіть самостійно: 101,11 ₂ = X ₁₀

2) Переклад десяткових чисел в інші системи числення .

I. Переклад цілих чисел. Правило розподілу.

1. Підставу нової системи числення виразити в 10 системі числення і всі наступні дії виконувати в десятковій системі числення

2. Послідовно виконувати розподіл даного числа й одержуваних неповних часток на підставу нової системи числення доти, поки не одержимо неповну частку, менше дільника.

3. Отримані залишки від розподілу, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність із алфавітом нової системи числення

4. Скласти число в новій системі числення, записуючи його починаючи з останнього залишку.

Приклад:

Перекласти число з 10 системи числення до 2 системи числення

37₁₀ = 100101₂

37 2

36 18 2

1 18 9 2

0 8 4 2

1 4 2 2

0 2 1

Виконати самостійно: 45 ₁₀ = X _2,8,16. 63 ₁₀ = X _2,8,16.

II. Переклад дробових чисел. Правило множення.

1. Підставу нової системи числення виразити в 10 системі числення і всі наступні дії виконувати в десятковій системі числення

2. Послідовно помножити дане число на підставу нової системи числення й одержувані дробові частини добутків доти, поки дробова частина добутку не стане рівної нулю або не буде досягнута необхідна точність подання числа в новій системі числення

3. Отримані цілі частини добутків, що є цифрами числа в нової системі числення, привести у відповідність із алфавітом нової системи числення.

4. Скласти дробову частину числа в новій системі числення, починаючи із цілої частини першого добутку.

Приклад:Перевести десяткову дріб 0,1875 в 2, 8, 16 системи числення

0,1875 ₁₀ = 0,0011 ₂ = 0,14 ₈ = 0,3 ₁₆

0, 1875

0 3750

0 7600

1 5200

1 0400

Ціла частина від дробової відділяється рисою.

III. Переклад змішаних чисел.

Виконується у два етапи. Ціла й дробова частини числа переводяться окремо по відповідних алгоритмах. У підсумковому записі числа ціла частина від дробової відділяється комою.

Приклад:Перевести десяткове число 315,1875 в 2, 8, 16 системи числення

315, 1875 ₁₀ = 473, 14 ₈ = 13B, 3 ₁₆

3) Переклад двійкових чисел у восьмеричну та шістнадцятирічну системи числення.

- Для перетворення двійкового числа у восьмеричне необхідно двійкову послідовність розбити на тріади і кожну групу замінити відповідною восьмеричною цифрою.

- При перекладі в шістнадцятирічну систему числення двійкове число розбивається на тетрады, а для заміни використовуються шістнадцятирічні знаки.

Приклад:1100001111010110 ₂ =Х ₁₆ =X ₈

1100 0011 1101 0110 =C3D6 ₁₆ 001 100 011 111 010 110 =141726 ₈

C 3 D 6 1 4 1 7 2 6

Для зворотного перетворення кожну цифру восьмеричного або шістнадцятирічного числа замінюють групою з 3 або 4 біт ( тріадами або тетрадами )

Приклад:A B 1 ₁₆ =1010 1011 0001 ₂ 1 3 7 ₈ = 001 011 111 ₂

1010 1011 0001 001 011 111

Таблиця восьмеричних і шістнадцятирічних чисел і відповідні їм тетрады й тріади.

3. Арифметичні операції із числами в різних системах числення.

Всі арифметичні операції в позиційних системах числення виконуються за єдиним алгоритмом.

Приклад :1101 10010 11

10110101
10010 1101 11

00

Виконати самостійно:110110 + 111.

Контрольні питання.

1. Системи числення.
2. Розгорнута форма чисел
3. Переклад чисел у десяткову систему числення
4. Переклад десяткових чисел в інші системи числення
5. Переклад двійкових чисел у восьмеричну та шістнадцятирічну системи числення
6. Арифметичні операції із числами в різних системах числення

Список літератури.

І. Основної:

1. Коляда А.Я. Курс информатики 10-11 класс, Донецк, 2000.

2. Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. Харьков, 2001, 638 стр.

3. Семакін С.В. Інформатика, Київ, 2000.

4. Єфімова П.Я. Інформатика. Інформаційні технології, Київ, 2000, 425 стр.

ІІ. Додаткової:

5. Пушкар О.І. Інформатика. Комп'ютерні технології – К.: Видавничий центр «Академія»,2001.