Избыточность сообщений

Взаимная энтропия

Пусть ансамбли Х и Y относятся соответственно к передаваемому и принимаемому сообщениям. Различия между Х и Y обуславливаются искажениями в процессе передачи сообщений под воздействием помех.

При отсутствии помех различий между ансамблями Х и Y не будет, а энтропии передаваемого и принимаемого сообщений будут равны: Н(Х) = Н(Y).

Воздействие помех оценивают условной энтропией Н_Y(X). Поэтому получаемое потребителем количество информации на один элемент сообщения равно: Е(Х,Y) = Н(Х) – Н_Y(X)

Величину Е(Х,Y) называют взаимной энтропией.

Если ансамбли Х и Y независимы, то это означает, что помехи в канале привели к полному искажению сообщения, т.е. Н_Y(X) = Н(Х), а получаемое потребителем количество информации на один элемент сообщения:Е(Х,Y)=0.

Если Х и Y полностью зависимы, т.е. помехи в канале отсутствуют, то Н_Y(X) = 0 и Е(Х,Y) = H(Y).

Так как Н_Y(X) = Н(Х,Y) – H(Y), то Е(Х,Y) = H(X) + H(Y) – H(X,Y), или

.

Пример15: Определите Н(Х) и Е(Х,Y), если Р(х₁,y₁) = 0,3; P(x₁,y₂) = 0,2;

P(x₂,y₃) = 0,1; P(x₃,y₂) = 0,1; P(x₃,y₃) = 0,25.

Чем больше энтропия, тем большее количество информации содержит в среднем каждый элемент сообщения.

Пусть энтропии двух источников сообщений Н₁<Н₂, а количество информации, получаемое от них одинаковое, т.е. I = n₁H₁ = n₂H₂, где n₁ и n₂ - длина сообщения от первого и второго источников. Обозначим

При передаче одинакового количества информации сообщение тем длиннее, чем меньше его энтропия.

Величина m, называемая коэффициентом сжатия, характеризует степень укорочения сообщения при переходе к кодированию состояний элементов, характеризующихся большей энтропией.

При этом доля излишних элементов оценивается коэффициентом избыточности:

Русский алфавит, включая пропуски между словами, содержит 32 элемента (см. Пример), следовательно, при одинаковых вероятностях появления всех 32 элементов алфавита, неопределенность , приходящаяся на один элемент, составляет Н₀ = log 32 = 5 бит

Анализ показывает, что с учетом неравномерного появления различных букв алфавита H = 4,42 бит, а с учетом зависимости двухбуквенных сочетаний H’ = 3,52 бит, т.е. H’< H < H₀

Обычно применяют три коэффициента избыточности:

1) частная избыточность, обусловленная взаимосвязью r’ = 1 - H’/H;

2) частная избыточность, зависящая от распределения r’’ = 1 - H/ H_0;

3) полная избыточность r₀ = 1 - H’/ H₀

Эти три величины связаны зависимостью r₀ = r’ + r’’ - r’r’’

Вследствие зависимости между сочетаниями, содержащими две и больше букв, а также смысловой зависимости между словами, избыточность русского языка (как и других европейских языков) превышает 50% (r₀ =1 - H’/ H₀ = 1 - 3,52/5 = 0,30).

Избыточность играет положительную роль, т.к. благодаря ней сообщения защищены от помех. Это используют при помехоустойчивом кодировании.

Вполне нормальный на вид лазерный диск может содержать внутренние (процесс записи сопряжен с появлением различного рода ошибок) и внешние (наличие физических разрушений поверхности диска ) дефекты. Однако даже при наличии физических разрушений поверхности лазерный диск может вполне нормально читаться за счет избыточности хранящихся на нем данных. Корректирующие коды С 1, С 2, Q - и Р - уровней восстанавливают все известные приводы, и их корректирующая способность может достигать двух ошибок на каждый из уровней С 1 и C 2 и до 86 и 52 ошибок на уровни Q и Р соответственно. Но затем, по мере разрастания дефектов, корректирующей способности кодов Рида—Соломонанеожиданно перестает хватать, и диск без всяких видимых причин отказывает читаться, а то и вовсе не опознается приводом. Избыточность устраняют построением оптимальных кодов, которые укорачивают сообщения по сравнению с равномерными кодами. Это используют при архивации данных. Действие средств архивации основано на использовании алгоритмов сжатия, имеющих достаточно длинную историю развития, начавшуюся задолго до появления первого компьютера —/еще в 40-х гг. XX века. Группа ученых-математиков, работавших в области электротехники, заинтересовалась возможностью создания технологии хранения данных, обеспечивающей более экономное расходование пространства. Одним из них был Клод Элвуд Шеннон, основоположник современной теории информации. Из разработок того времени позже практическое применение нашли алгоритмы сжатия Хаффмана и Шеннона-Фано. А в 1977 г. математики Якоб Зив и Абрахам Лемпел придумали новый алгоритм сжатия, который позже доработал Терри Велч. Большинство методов данного преобразования имеют сложную теоретическую математическую основу. Суть работы архиваторов: они находят в файлах избыточную информацию (повторяющиеся участки и пробелы), кодируют их, а затем при распаковке восстанавливают исходные файлы по особым отметкам. Основой для архивации послужили алгоритмы сжатия Я. Зива и А. Лемпела. Первым широкое признание получил архиватор Zip. Со временем завоевали популярность и другие программы: RAR, ARJ, АСЕ, TAR, LHAи т. д.В операционной системе Windows достаточно четко обозначились два лидера: WinZip (домашняя страница этой утилиты находится в Internet по адресу http://www.winzip.com)и WinRAR, созданный российским программистом Евгением Рошалем (домашняя страница http://www.rarlab.com). WinRAR активно вытесняет WinZip так как имеет: удобный и интуитивно понятный интерфейс; мощную и гибкую систему архивации файлов; высокую скорость работы; более плотно сжимает файлы. Обе утилиты обеспечивают совместимость с большим числом архивных форматов. Помимо них к довольно распространенным архиваторам можно причислить WinArj (домашняя страница http://www.lasoft-oz.com). Стоит назвать Cabinet Manager (поддерживает формат CAB, разработанный компанией Microsoft для хранения дистрибутивов своих программ) и WinAce (работает с файлами с расширением асеи некоторыми другими). Необходимо упомянуть программы-оболочки Norton Commander, Windows Commander или Far Manager. Они позволяют путем настройки файлов конфигурации подключать внешние DOS-архиваторы командной строки и организовывать прозрачное манипулирование архивами, представляя их на экране в виде обычных каталогов. Благодаря этому с помощью комбинаций функциональных клавиш можно легко просматривать содержимое архивов, извлекать файлы из них и создавать новые архивы. Хотя программы архивации, предназначенные для MS-DOS, умеют работать и под управлением большинства версий Windows (в окне сеанса MS-DOS), применять их в этой операционной системе нецелесообразно. Дело в том, что при обработке файлов DOS-архиваторами их имена урезаются до 8 символов, что далеко не всегда удобно, а в некоторых случаях даже противопоказано.

Выбирая инструмент для работы с архивами, прежде всего, следует учитывать как минимум два фактора: эффективность, т. е. оптимальное соотношение между экономией дискового пространства и производительностью работы, и совместимость, т. е. возможность обмена данными с другими пользователями

Последняя, пожалуй, наиболее значима, так как по достигаемой степени сжатия, конкурирующие форматы и инструменты различаются на проценты, а высокая вычислительная мощность современных компьютеров делает время обработки архивов не столь существенным показателем. Поэтому при выборе программы-архиватора важнейшим критерием становится ее способность "понимать" наиболее распространенные архивные форматы.

При архивации надо иметь в виду, что качество сжатия файлов сильно зависит от степени избыточности хранящихся в них данных, которая определяется их типом. К примеру, степень избыточности у видеоданных обычно в несколько раз больше, чем у графических, а степень избыточности графических данных в несколько раз больше, чем текстовых. На практике это означает, что, скажем, изображения форматов BMP и TIFF, будучи помещенными в архив, как правило, уменьшаются в размере сильнее, чем документы MS Word. А вот рисунки JPEG уже заранее компрессированы, поэтому даже самый лучший архиватор для них будет мало эффективен. Также крайне незначительно сжимаются исполняемые файлы программ и архивы.

Программы-архиваторы можно разделить на три категории.

1. Программы, используемые для сжатия исполняемых файлов, причем все файлы, которые прошли сжатие, свободно запускаются, но изменение их содержимого, например русификация, возможны только после их разархивации.

2. Программы, используемые для сжатия мультимедийных файлов, причем можно после сжатия эти файлы свободно использовать, хотя, как правило, при сжатии изменяется их формат (внутренняя структура), а иногда и ассоциируемая с ними программа, что может привести к проблемам с запуском.

3. 3. Программы, используемые для сжатия любых видов файлов и каталогов, причем в основном использование сжатых файлов возможно только после разархивации. Хотя имеются программы, которые "видят" некоторые типы архивов как самые обычные каталоги, но они имеют ряд неприятных нюансов, например, сильно нагружают центральный процессор, что исключает их использование на "слабых машинах".

Принцип работы архиваторов основан на поиске в файле "избыточной" информации и последующем ее кодировании с целью получения минимального объема. Самым известным методом архивации файлов является сжатие последовательностей одинаковых символов. Например, внутри вашего файла находятся последовательности байтов, которые часто повторяются. Вместо того, чтобы хранить каждый байт, фиксируется количество повторяемых символов и их позиция. Например, архивируемый файл занимает 15 байт и состоит из следующих символов:

В В В В В L L L L L А А А А А

В шестнадцатеричной системе

42 42 42 42 42 4С 4С 4С 4С 4С 41 41 41 41 41

Архиватор может представить этот файл в следующем виде (шестнадцатеричном):

01 05 42 06 05 4С 0А 05 41

Это значит: с первой позиции пять раз повторяется символ "В", с позиции 6 пять раз повторяется символ "L" и с позиции 11 пять раз повторяется символ "А". Для хранения файла в такой форме потребуется всего 9 байт, что на 6 байт меньше исходного.

Описанный метод является простым и очень эффективным способом сжатия файлов. Однако он не обеспечивает большой экономии объема, если обрабатываемый текст содержит небольшое количество последовательностей повторяющихся символов.

Более изощренный метод сжатия данных, используемый в том или ином виде практически любым архиватором, — это так называемый оптимальный префиксный код и, в частности, кодирование символами переменной длины (алгоритм Хаффмана).

Код переменной длины позволяет записывать наиболее часто встречающиеся символы и группы символов всего лишь несколькими битами, в то время как редкие символы и фразы будут записаны более длинными битовыми строками. Например, в любом английском тексте буква Е встречается чаще, чем Z, а X и Q относятся к наименее встречающимся. Таким образом, используя специальную таблицу соответствия, можно закодировать каждую букву Е меньшим числом битов и использовать более длинный код для более редких букв.

Популярные архиваторы ARJ, РАК, PKZIP работают на основе алгоритма Лемпела-Зива.Эти архиваторы классифицируются как адаптивные словарные кодировщики, в которых текстовые строки заменяются указателями на идентичные им строки, встречающиеся ранее в тексте. Например, все слова какой-нибудь книги могут быть представлены в виде номеров страниц и номеров строк некоторого словаря. Важнейшей отличительной чертой этого алгоритма является использование грамматического разбора предшествующего текста с расположением его на фразы, которые записываются в словарь. Указатели позволяют сделать ссылки на любую фразу в окне установленного размера, предшествующего текущей фразе. Если соответствие найдено, текущая фраза заменяется указателем на своего предыдущего двойника.

При архивации, как и при компрессировании, степень сжатия файлов сильно зависит от формата файла. Графические файлы, типа TIF и GIF, уже заранее компрессированы (хотя существует разновидность формата TIFF и без компрессии), и здесь даже самый лучший архиватор мало чего найдет для упаковки. Совсем другая картина наблюдается при архивации текстовых файлов, файлов PostScript, файлов BMP и им подобных.