Десяткова система числення

Системи числення

Системою числення називається сукупність правил запису чисел. Системи числення поділяються на позиційні і непозиційні. Вони використовують певний набір символів – цифр, послідовне розміщення яких формує число[1].

Непозиційні системи числення появились раніше позиційних. Вони характеризуються тим, що у них символи, які позначають те чи інше число, не змінюють свого значення в залежності від розміщення в запису цього числа. Класичним прикладом такої системи числення є римська. В ній для запису чисел використовують букви латинського алфавіту. При цьому буква І означає – 1, V – п’ять, Х – десять, L – п’ятдесят, С – сто, D – п’ятсот, М – тисячу. Для отримання кількісного еквіваленту числа в римській системі числення необхідно просто просумувати кількісні еквіваленти цифр, які в нього входять. Виключення з цього правила є випадок, коли молодша цифра іде перед старшою, - в цьому випадку потрібно не додавати, а віднімати число входжень цієї молодшої цифри.

Наприклад, кількісний еквівалент числа 577 римської системи числення – це DLXXVII = 500+50+10+10+5+1+1=577. Інший приклад CDXXIX = 500-100+10+10-1+10=429.

В позиційній системі числення кількість символів в наборі рівна основі системи числення. Місце кожної цифри в числі називається позицією. Номер позиції символу в числі називають розрядом (за виключенням одиниці). Розряд 0 називають молодшим розрядом. Кожній цифрі відповідає певний кількісний еквівалент. Введемо позначення – запис А(р) буде означати кількісний еквівалент цілого числа А, яке складається із n цифр a_k (де k=0, …, n-1) в системі числення з основою р. Це число можна представити у вигляді послідовності цифр:

А(р) = a_n-1 a_n-2 … a₁ a₀ (1.1)

При цьому завжди виконується нерівність a_k < р.

В загальному випадку кількісний еквівалент деякого цілого додатного числа А в позиційній системі числення можна представити виразом:

А(р) = a_n-1´р^n-1 + a_n-2´р^n-2 + … + a₁´р¹+ a₀´ р⁰ , (1.2 )

де р – основа системи числення (деяке ціле додатне число);

а – одна із цифр даної системи числення;

n – номер старшого розряду числа.

Система числення базується на цілих значеннях степені числа р. p^n-1 – називається вагою. Очевидно, що кожен зсув числа вліво означає множення його на р, а кожен зсув вправо – діленням на р [2]. Іншими словами вага в системі числення є цілим значенням степені числа р. Запис чисел в різних системах числення показаний в таблиці 1.1

Це найбільш відома система числення, так як вона постійно використовується нами в буденному житті. Ця система числення має наступний набір цифр (символів) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, основа системи р=10. Кількісний еквівалент деякого цілого n-значного десяткового числа обчислюється за формулою:

А(10) = a_n-1´10^n-1 + a_n-2´10^n-2 +…+ a₁´10¹ + a₀´10⁰ (1.3 )

Наприклад, значення числа А(10)=4523 рівне 4´10³+5´10²+2´10¹+3´10⁰

1.1.1.2 Двійкова система числення

Набір цифр для двійкової системи числення: {0,1}.Основа системи чисел р=2. Кількісний еквівалент деякого цілого n-значного двійкового числа, обраховується згідно формули:

А(2) = a_n-1´2^n-1 + a_n-2´2^n-2 + … + a₁´ 2¹+ a₀´ 2⁰ (1.4 )

В двійковій системі числення може бути записано любе ціле число. Для запису нецілого числа інколи необхідно використовувати апроксимацію, так само як в десятковій системі, коли не можливо виразити деякі не цілі числа (ірраціональні та деякі дроби, наприклад ). Похибка, зумовлена такою апроксимацією, залежить від кількості використаних розрядів (позицій).

Наявність цієї системи числення зумовлено тим, що комп’ютер побудований на логічних схемах, які мають у своєму елементарному вигляді тільки два стани – включено і виключено. Рахувати в двійковій системі просто для комп’ютера, але складно для людини.

Таблиця 1.1 - Запис чисел в різних системах числення