Решение

Пример решения задачи 4

Схемы к задаче 4

Схемы к задаче 4

Для балки работающей на изгиб (рис. 2.1,а) необходимо:

1. Определить значение поперечной силы Q и изгибающего момента М, построить соответствующие эпюры.

2. Подобрать размеры поперечного сечения балки из условия прочности по допускаемым напряжениям на изгиб для 3-ёх вариантов:

а) двутавра;

б) прямоугольного поперечного сечения со сторонами b и h при соотношении h/b=2;

в) круглого поперечного сечения.

Дано: М=10 кН×м; Р=10 кН; q₁=50кН/м; а=1м; в=1м; с=1м; .

1. Опорные реакции и (рис. 2.1,б) направим вверх. На балку не действуют горизонтальные силы, поэтому на опоре А будет только вертикальная реакция. Для определения реакций опор составим 2 уравнения равновесия:

Рис. 2.1 Схема и эпюры внутренних усилий к примеру решения задачи4

;

.

Из этих уравнений определим реакции и :

; .

После подстановки численных значений получим: кН; кН.

Дополнительное уравнение можно использовать для проверки полученного результата:

;

12,5+27,5-50+10=0;

2. В поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q.

При решении задачи используем правило знаков внутренних усилий: поперечная сила Q в сечении положительна, если равнодействующая внешних сил стремится повернуть рассматриваемую часть по часовой стрелке относительно центра тяжести сечения.

Изгибающий момент М в сечении будем считать положительным, если балка изгибается таким образом, что растянутые волокна находятся в нижней части балки, а сжатые – в верней части.

Разобьём балку на 3 силовых участка. Границами участков являются сечения, к которым приложены сосредоточенные моменты и силы, а также конец и начало распределённой нагрузки.

Первый участок: .

Составим аналитические выражения для определения величины поперечной силы и момента, используя метод сечений и учитывая правило знаков.

;

Второй участок: .

Эпюрой изгибающего момента на 2-ом участке является квадратная парабола (рис.2.1,г). Поэтому для её построения надо знать координаты трёх точек: в начале, в конце участка и в точке, где эпюра имеет экстремум. Экстремум на параболе будет в том же сечении балки, в котором поперечная сила Q равна нулю. Расстояние до сечения, в котором на эпюре момента будет экстремум, обозначим через z₀. Значение z₀ найдём из следующего уравнения:

.

Подставим значение z₀ в уравнение для и найдём экстремум на параболе.

.

Третий участок: .

По найденным значениям Q и М строим эпюры поперечной силы (рис.4,в) и изгибающего момента (рис.2.1,г).

3. Из условия прочности балки по нормальным напряжениям подберём размеры поперечного сечения балки для 3-ёх вариантов.

Опасным сечением является сечение балки, проходящее через экстремум на параболе, т.к. в этом сечении будет наибольший изгибающий момент по абсолютной величине . Из условия прочности:

для стальной балки определим :

.

а) По найденному значению подберём номер двутавра по ГОСТ 8239-72. Ближайшая величина момента сопротивления , что соответствует двутавру № 18а .

б) Для прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления сечения имеет следующую зависимость: , при отношении h/b=2 будем иметь: , откуда высота сечения , а ширина сечения b=h/2=6,08 см .

в) Для круглого поперечного сечения момент сопротивления сечения следующий: .

Из этого выражения определим диаметр: .