РОЗРАХУНОК ПЕРЕРІЗІВ, ПОХИЛИХ ДО ОСІ ЕЛЕМЕНТА

Можливі схеми руйнування елементів, що зазнають згину, описано в 1.5, а схеми, за якими можна дістати основні рівнян­ня міцності похилих перерізів. Перерізи, похилі до осі елемента, за згинальними моментами розраховують так, щоб розрахунковий момент від зовнішніх сил похилому перерізі відносно осі, яка проходить через точку при­кладення рівнодіючої зусиль у стиснутій зоні, не перевищував момента від внутрішніх зусиль в арматурі, яка пересікається похилим перерізом в його розтягнутій зоні, відносно тієї самої осі. Розглядаючи рис. 2.7, цю умову можна записати так:

Рисунок 2.7 - До розрахунку міцності похилого перерізу за згинальним моментом

Розглядаючи рисунок 2.7, цю умову можна записати так

(2.37)

де М – розрахунковий момент усіх зовнішніх сил, що діють на відсічену похилим перерізом частину елемента, відносно центра ваги стиснутої зони цього перерізу, який обчислюють за формулою

В даному рівнянні М₁ і Q₁ – згинальний момент і поперечна сила на початку похилого перерізу.

При цьому розглядають умовно прямолінійний нахил перерізу а, довжину с проекції похилого перерізу на повздовжню вісь елемента приймають до точки прикладання рівнодіючої стискальних сил.

Найнебезпечнішим з можливих похилих перерізів, що виходять з однієї точки (рисунок 2.8), буде такий, для якого різниця між зовнішнім і внутрішнім моментами – найменша.

Рисунок 2.8 - До визначуння похилого перерізу, найбільш небезпечного за згинальним моментом.

Положення такого перерізу можна визначити, скориставшись правом знаходження мінімуму функції

Підставивши

дістанемо умову для знаходження найнебезпечнішого (за згинальним моментом) похилого перерізу для елементів сталої висоти

(2.38)

У вигляді рівномірно розподіленого по довжині елемента зусилля інтенсивністю дістанемо рівняння (2.37 і 2.38) у такому вигляді

(2.39)

Q=(c-0,5α). (2.40)

(2.41)

для елементів з похилою стиснутою і горизонтальною розтягнутою гранями

;

(2.42)

для елементів з похилою розтягнутою і горизонтальною стиснутою гранями

. (2.43)

У формулах (2.42) і (2.43) β – кут нахилу стиснутої або розтягнутої грані до горизонталі.

Якщо за однаковими згинальними моментами порівнювати міцність похилого і нормального (тобто такого, що проходить через точку прикладання рівнодіючої стискальних зусиль у по­хилому перерізі) перерізів, міцність похилого перерізу може поступитися перед міцністю нормального: а) в місцях обриву поздовжньої арматури в прольоті елемента; б) в зоні, де відіг­нуто поздовжню арматуру; в) в межах довжини анкерування поздовжньої арматури біля вільних опор і кінців елементів; г) у місцях різкої зміни висоти перерізу.

В усіх інших місцях міцність похилих перерізів за момен­тами буде не меншою від міцності нормальних перерізів.

Обриви поздовжньої розтягнутої арма­тури теоретично можна робити в тих місцях, де вона не по­трібна за розрахунком нормальних (переріз 1 на рисунку 2.9а) перерізів. Але коли стержень а не буде продовжений за місце його теоретичного обриву (переріз II–II) на величину со, то елемент може зруйнуватися по похилому перерізу 2. А коли стержень продовжено, то сам він посилює переріз 2, а зруйнування по перерізах З і 4 неможливе тому, що переріз 3 посилено додатковою кількістю хомутів, а переріз 4 починається в зоні меншого момента.

а – до визначення місць обриву робочої розтягнутої арматури; б – до визначення довжини горизонтальної ділянки відігнутих стержнів біля грані проміжної опори;

І – І – переріз, в якому стиржень а працює цілком на зусилля N_a = R_aF_a; ІІ- ІІ – переріз, де стержень а можна обірвати, бо згинальний момент став меншим за величину N_az; l – ділянка, на довжині якої згинальний момент зменшується настільки (на величину N_az), що стержень а можна обірвати або не враховувати його роботу по сприйманню момента.

Рисунок 2.9 - До розрахунку міцності похилих перерізів за згинальними моментами

Інакше кажучи, розтягнуту арматуру, яку обривають, продовжують на таку величину ω, на довжині якої опір поперечних стержнів компенсує обрив повздовжніх.

Величину ω визначають так, щоб була забезпечена достатня міцність найнебезпечнішого похилого перерізу, який починається біля кінця стержня, що обривається (див. рівняння (2.38), але при зусиллі R_aF_a без обірваної арматури)

. (2.44)

Якщо небезпечний похилий переріз пересікає ще й відгини, то

. (2.45)

У балках перемінної висоти з похилою стиснутою гранню

, (2.46)

при похилій розтягнутій грані –

. (2.47)

У формулах (2.45) – (2.47)

Q – розрахункова поперечна сила в місці теоретичного (з розрахунку міцності лише нормального перерізу) обриву стержня; Q_відг = Σ R_аF₀sin α – поперечна сила в тому самому перерізі, яка сприймається відігнутими під кутом α стержня загальним перерізом F₀; - інтенсивність граничного зусилля в поперечній арматурі перерізом F_x і кроком α на ділянці ω; 5d – додаткове видовження стержня, яке враховує те, що він не відразу включається в роботу; ω більше-рівне 20d – мінімальна конструктивна величина видовження стержня за місце його теоретичного обриву.

б) Відгини поздовжньої арматури слід починатина такій відстані від нормального перерізу (де горизонтальна ділянка відгину цілком використовується, тобто, є моментною), при якому плече внутрішньої пари сил z_о більше z (рисунок 2.9,б). Тоді міцність похилого перерізу буде не нижчою від міцності вже розрахованого вертикального, бо міцність обох
на рисунку 2.9б забезпечує один і той самий стержень а.

Решта конструктивних вимог до розміщення відгинів по дов­жині і перерізу елементів викладена в розділі 6.

Для цього початок відгину в розтягнутій зоні повинен бути на відстані від перерізу, в якому горизонтальна ділянка відгину цілком використовується за моментом, не менш ніж на величину 0,5 h₀. Кінець відгину повинен бути не ближче від того перерізу, в якому нижня горизонтальна ділянка відгину з розрахунку за опорним моментом уже не потрібна. Тоді (дивитись рисунок 2.9.)

.

Оскільки h₀≈(1,2 1,3)z,то при куті нахилу відгину α= 45⁰ z₀ = (1,09 1,16) z; при α = 60⁰ z₀ = (1 1,08) z, тобто z₀ більше-рівне z.

Рисунок 2.10 - До розрахунку за згинальними моментами міцності похилих перерізів у межах зони анкерування напружуваної арматури з високоміцного дроту, пучків і пасмів без анкерів

в) Анкерування повздовжньої розтягнутої арматури з додержанням спеціальних конструктивних заходів звільняє від розрахунків міцності похилих перерізів за згинальним моментом у зоні анкетування арматури на вільних опорах.

Якщо анкерування ненапруженої арматури недостатня, а попередньо напружену дротову арматуру встановлюють без закріплених пристроїв, то в зоні самоанкерування арматура має немовби знижений опір, бо не може цілком сприймати розтягальні зусилля (рисунок 2.10).

Довжину анкерування не напружуваних стержнів l_an визначають, виходячи з умови, що розтягувальні зусилля в арматурі N_a і сили опору арматури N_зс дорівнюють одне одному.

Оскільки N_a = R_aF_a = R_a 0,25 πd² i N_3c = R_3cF = R_3cπdl_ан, то потрібна довжина анкерування

. (2.48)

Величина умовного розрахункового опору арматури зсуву R_зс в бетоні визначається сукупністю різних факторів, які враховувати важко, а тому l_ан визначають експериментально.

Щодо попередньо напружених дротів , то їх опір на довжині l_ан приймають лінійно мінливим від нуля до величини R_at, що визначається за формулою

(але не більше R_a *), (2.49)

де σ₀ – попередня напруга в напружуваній арматурі х урахуванням втрат, що мають місце обтискування бетону; l_x – відстань від початку зони анкерування до розтягуваного перерізу; l_ан – довжина зони анкерування, см, яку беруть рівною

при σ₀ < 10 000 кгс/см²

» σ₀ = 10 000 кгс/см²

l_ан = k_анd (2.50)

» σ₀ = 10 000 кгс/см²

де k_ан – конфіцієнт, який приймають за таблиці 2.2; d – діаметр дроту, або пасма, см; R₀ – кубикова міцність бетону в момент його обтискування.

При миттєвому спуску натягу, коли можливі порушення зчеплення бетону з арматурою, початок зони її анкерування у важкому бетоні відсувають від торця елемента на 0,25 l_ан

Таблиця 2.2 - Значення коефіцієнта k_ан

Довжину зони анкерування стержньової напружуваної арматури беруть за таблицею 2.2.а

Застосовуючи напружувану арматуру із сталі класів А – ІІІв або А – ІІв, беруть l_ан = 25 d, де, як і в таблиці, d – діаметр напружуваних стержнів.

Таблиця 2.2.а - Довжина зони анкетування l_ан стержневої напруженої арматури в бетоні

*Оскільки σ₀ призначають у межах від 0,4 до 0,7 , тому на рисунку 1.10. величина σ₀ більша за величину R_а.

При миттєвій передачі зусилля обтиску на бетон довжину зони анкерування стержнів діаметром до 18 мм збільшують на 0,25 l_ан. Для стержнів діаметром понад 18 мм миттєва передача зусилля не допускається, про що слід вказати в проекті.

Оскільки в межах довжини анкерування опір поздовж­ньої арматури знижено, похилі перерізи, що починаються там, можуть виявитись небезпечними, а отже, їх міцність треба­ вра­ховувати за формулою (2.39), замінивши в ній на . Треба тільки з'ясувати, який саме похилий переріз (з можливих на довжині анкерування) найбільш небезпечний.

Коли похилий переріз переміщувати вздовж зони анкеруван-
ня, то, з одного боку, зростає граничне зусилля в поздовжній
арматурі, а з другого — збільшується і розрахунковий згинальний момент, який діє в похилому перерізі. Найнебезпечніший той переріз, для якого різниця між зовнішнім і внутрішнім моментами мінімальна.

Для визначення такої різниці, а отже, і небезпечного перерізу, знаходять мінімум функції

(дивись формулу 2.39)

де

тут

(дивись рисунок 2.10)

Підставляючи ці величини у вираз для мінімуму функції і розв'язуючи його відносно х, дістають шукане положення найнебезпечнішого похилого перерізу по довжині зони анкетування.

. (2.51)

Якщо х₀ більше 0; більше l; дорівнює ~ (при р = 0), то похилі перерізи не небезпечні. А якщо х₀ менше-рівне 0, то найбільш небезпечний той похилий переріз, який починається біля опори.

В елементах перемінної висоти при малому похилі грані (tg ≤ 0,2) вплив похилу можна знехтувати і користуватися формулою (2.50).

г) Місця різкої зміни висоти перерізу у вигляді підрізок найбільш небезпечні саме через різку зміну висоти перерізу. Для забезпечення їх міцності (щоб не утворилася тріщина l на рисунку 2.11.).

Площу перерізу повздовжньої арматури F_а знаходять (при відсутності відгинів) з перетвореного рівняння (2.39)

, (2.52)

де М – згинальний момент у нормальному перерізі, в стиснутій зоні якого рівнодіюча зусиль лежить на похилому перерізі;

,

,

Рисунок 2.11 - До розрахунку міцності по­хилих перерізів за згинальними мо­ментами у місцях, де зроблено гли­бокі підрізки

z = γ₀h₀ – плече внутрішньої пари сил для розглянутого похилого перерізу, в якому діє загальний момент М. це плече визначають за допомогою таблиці 2.3.

Можливість утворення тріщини 2, яка не пересікає поздовж­ні арматури буде виключена, якщо цю арматуру завести за грань відрізка на величину яку визначають так, щоб згинальний момент міг бути сприйнятий лише поперечною армату­рою без участі поздовжньої

(2.53)

Поперечні стержні для забезпечення міцності похилих перерізіву підрізці треба встановлювати на ділянці довжиною , яка, крім того, повинна бути не менша за величину ,що визначається за формулою (2.53).

Щодо нормального перерізу, який проходить через кінець підрізки, то його міцність буде забезпечена при повному розра­хунковому опорі поздовжньої арматури, для чого її треба за­нести за кінець підрізки на величину не меншу за довжину анкерування .

Перерізи, похилі до осі елемента, за поперечними силамирозраховують, виходячи з умови, що розрахункова поперечна сила від зовнішнього навантаження, яке діє в похилому пере­різі, не перевищує суми внутрішніх поперечних сил, що можуть бути сприйняті поперечною арматурою і бетоном стиснутої зони елемента (рисунок 2.12)

. (2.54)

Як розрахункову поперечну силу приймають поперечну силу в перерізі, проведеному нормально до осі елемента че­рез найближчий до опори початок похилого перерізу. Величину визначають за епюрою поперечних сил з урахуванням тих навантажень, які завжди діють на розглядувану частину еле­мента в межах довжини похилого перерізу (рисунку 2.13)

.

Якщо навантажень р і Р_інемає, то .

Рисунок 2.12 – Зусилля в похилому Рисунок 2.13 – До визначення

перерізі, який розраховують на розрахункової поперечної

міцність за поперечними сили в похилому перерізі

силами

До враховуваних розвантажуючих навантажень, що змен­шують розрахункову поперечну силу, належать власна вага конструкції, гідростатичний тиск, вага ґрунтових засилок тощо. При цьому власну вагу в ме­жах похилого перерізу вводять з коефіцієнтом 0,5, тобто вра­ховують вагу лише верхньої половини елемента, поділеного похилою тріщиною.

а – ті, що починаються біля грані опори, б – те саме, біля нижніх точок перетину відгинів, в – те саме, біля місць згину інтенсивності розтановки поперечних стержнів (хомутів)

Рисунок 2.14 – Похилі перерізи, для яких роблять розрахунки міцності за поперечними силами

Коли діє рухоме наванта­ження, розрахунок роблять за обвідною епюрою .

Елементи прямокутного, таврового, двотаврового і ко­робчастого перерізів слід про­ектувати так, щоб .задовольня­лась вимога

.

Звідки

. (2.55)

Додержання цієї умови спрощує конструювання елементів, дає змогу запобігти появі часто розташованих косих тріщин при звичайному поперечному армуванні і забезпечує міцність бетону,коли на нього діють головні стискальні напруги .

З цієї умови визначають мінімальну висоту приопорних діля­нок елементів, що зазнають згину, наприклад у двосхилих балкахперекриттів та ін.

Міцність похилих перерізів за поперечною силою можна не розраховувати, якщо величина головних розтягальних напружень не перевищує розрахункового опору бетону розтягові, тобто якщо задовольняється умова

Q≤0/25Rзbh₀ (2.55)

де

(2.56)

тут зусилля, що сприймається поперечними стержнями на одиницю довжини балки;

довжина проекції похилого перерізу;

крок поперечних стержнів.

(2.57)

Величина граничної поперечної сили Що сприймається поперечними стержнями і бетоном, залежить від величини с. Якщо с — велике, тобто похилий переріз пологий, то він пересі­кає збільшену кількість поперечних стержнів (зростає ), але при цьому убуває гранична поперечна сила ₆, яка сприймаєть­ся бетоном стиснутої зони.

Небезпечним похилим перерізом є такий, для якого величина буде мінімальною. Його визначають, як і раніше, за допомогою відомого правила знаходження мінімуму функції

,

звідки

.

Отже,

.

Підставивши C_неб у вираз для Q_х.б. дістанемо

. (2.58)

Рисунок 2.15 – До визначення найбільшого розрахункового кроку поперечних стержнів

З усіх поперечних перерізів можливий і такий (1 на рис. 2.15) який починається і закінчується у безпосередній близькості від крайніх на довжині с поперечних стержнів, не пересікаючи їх. Для такого перерізу величина , а отже і , виявилася б завищеною на величину граничного зусилля, що сприймається однією площиною поперечних стержнів . Тому у формулі (2.58) значення прийнято зменшеним саме на цю величину .

Із (2.58) виходить, що

. (2.59)

Якщо це рівномірно розподілене по довжині елемента зу­силля віднести до кроку поперечних стержнів а, дістанемо зусилля в одній з площин. Таке зусилля повинні сприйняти поперечні стержні цієї площини, які мають п віток з арматури перерізом з розрахунковим опором

. (2.60)

Звідси дістають робочі формули для визначення

площі перерізу однієї вітки

(2.61)

розрахункового кроку

(2.62)

зусилля, що сприймаються однією площиною поперечних стержнів

(2.63)

Тут і далі через а позначено конструктивний (який вказують на робочих кресленнях) крок поперечних стержнів, а через и — розрахунковий, який дістають з формул і який потребує округленнядо нормованої конструктивної величини а.

Розглядаючи рисунок 2.15, можна переконатися, що при досить рідкому розташуванні поперечних стержнів стає небезпечним переріз 2, який не пересікає жодної площини поперечних стерж­нів і в той же час він настільки пологий, що його міцність може виявитись не забезпеченою самим лише бетоном стиснутої зони. Щоб міцність і такого перерізу була достатньою, треба, очевидно,встановити максимально допустимий розрахунковий крок поперечних стержнів. Його знаходять, додержуючи умови, щоб поперечна сила не перевищувала тієї величини, яку може прийняти бетон стиснутої зони: . Підставивши значен­им Дістанемо Звідки з деяким запасом

(2.64)

Поперечні і відігнуті стержні розраховують тоді, коли для сприйняття значної поперечної сили самими лише поперечними стержнями їх довелося б ставити надто часто, або коли відігнуті стержні встановлені конструктивно (для переведенняробочої арматури з нижньої зони розтягу в прольоті нерозрізних балок у верхню зону розтягу над опорою).

Псреріз відігнутої арматури визначають з розрахунку, що надлишкову поперечну силу в кожному з розрахункових похилих перерізів, які починаються біля опори і біля початку кожної площини відгинів, сприймає одна їх площа перерізом

Відповідно до умови (2.54)

,

де - поперечна сила, яку сприймає відігнутий стержень.

Звідси

(2.65)

а – в балках навантажених розподіленим навантаженням, б – те саме, зосередженими навантаження

Рисунок 2.16 – Схема розрахунку і розміщення відігнутих стержнів

Відстані від грані опори до найближчої площини (відгинів і між площинами повинні бути не більші від величини и за формулою (2.64), що дає змогу забезпечити міцність похилих перерізів у цих інтервалах са­мим лише бетоном (рисунок 2.16).

Крім того, нижню точку пе­регину останнього відгину (ра­хуючи від опори) треба розта­шовувати не ближче до опори, ніж точка О — перерізу епюри поперечних сил з епюрою .

Практично ці правила роз­ставляння відгинів виконують так.

Нижню точку перегину ос­танньої від опори площини від­гинів суміщують з проекцією точки О на вісь розтягнутої ар­матури (дивись рисунок 2.16). Верхню точку першої від опори площини відгинів відсувають від грані опори на 50—100 мм, але не більш ніж на величину и.

Таким способом вибравши ще й кут нахилу відгинів (зви­чайно 45 або 60°), фіксують проектне положення першої і ос­танньої площин. Між ними, якщо потрібно, розміщують всі інші відгини так, щоб вони не проектувались один на один, а інтер­вали між ними були не більші від и.

Приклад 6. Визначити величину , на яку треба подовжити надопорні коротуни за місце їх теоретичною обриву з розрахунку за опорним мо­ментом.

Дано: розрахункова поперечна сила в місці теоретичного обриву коро­тунів = 6000 кгс; діаметр коротунів 16 мм; армування балки — двома плос­кими зварними каркасами, 6-міліметрові поперечні стержні яких виконані із сталі класу А-І і розставлені кроком 15 см.

Розрахунок.Спершу обчислюють величину

Приймаємо см.

Конструктивна величина см < 45 см.

Приклад 7. Визначити площу перерізу повздовжньої арматури F_a і довжину її заправлення ω в місці підрізки у вигляді консольної чверті на кінці балки (рисунок 2.11).

Дано: опорна реакція балкона Q = 2000 кгс; ширина консолі b = 15 см,її висота h= 20 см; z = γ₀h₀ = 15 см; а₀ = 15 см; бетон марки «300»; балка і консоль армовані двома плоскими зварними каркасами (n = 2) із сталі А – ІІІ; крок поперечних стержнів діаметром 6 мм а = 10 см.

Розрахунок.

Визначають .

Довжина проекції найнебезпечнішого похилого перерізу за формулою 2.40

За формулою 2.52

де М = 60 000 кгс·см – згинальний момент, що діє в нормальному перерізі, рівнодіюча зусиль у стиснутій зоні якого лежить на розглядуваному похилому перерізі.

Потрібна довжина заправлення конструктивно прийнятих стержнів діаметром 12 мм (F_a = 2,26 см² більше 0,95 см²) за грань опори за формулою (2.53)

Приклад 8. Розрахувати поперечні стержні із сталі класу А-І у балці, поздовжню робочу арматуру якої підібрано в прикладі 4.

Дано: =13 600 кгс; розміри поперечного перерізу балки =20Х50 см; бетон марки «200»; з розрахунку за згинальним моментом балка армована трьома плоскими зварними каркасами.

Розрахунок. Перевіряють достатність розмірів перерізу балки.

Оскільки (умову (65) задоволено),

розміри достатні, а оскільки умову (66) не виконано , то поперечну арматуру треба визначити розрахунком.

Приймемо діаметр поперечних стержнів =8 мм; =0,503 см²; їх кількість в одному перерізі балки =2 (балка армована двома каркасами). Теперза формулою (2.59) визначаємо зусилля, що сприймаються поперечними стержнями на одиницю довжини балки:

Крок поперечних стержнів за формулою (72):

Округливши цю величину, приймаємо , після чого перевіряємо умову (2.64):

, що більше за 15см.

Прийнятий крок поперечних стержнів відповідає і конструктивним вимогам см.

Приклад 9. Розрахувати хомути і відгини в балці за даними прикладів 4 і 8.

Розрахунок.Крок хомутів прийнято а=25 см, що при наявності відгинів припустимо ( ), і тоді

за формулою (2.63) кгс/см,

а за формулою (2.58)

кгс.

Прийнявши кут нахилу відгинів =45°, визначають за формулою (2.65) їх переріз у першій від опори площині

Армуючи проліт 6Ø18 (дивись приклад 4: см²), відігнемо в пер­шій площині 2Ø18, що становитиме = 5,09 см².

Далі обчислюють положення точки перерізу епюр і

і проводять через неї останню від опори площину відгинів. Тоді видно, що між першою і останньою площинами треба помістити хоча б ще одну (рисунок 2.17).

Рисунок 2.17- До розрахунку відігнутих стержнів і хомутів у нерозрізній балці.

Прийнявши = 10 см, визначають біля нижнього кінця відгинів пер­шої площини:

кгс

Тепер обчислюють переріз відгинів другої площини

Відігнемо2Ø13— стержні № 2.

Якщо прийняти =10 см, а = 5 см, то = 150 152 см.

Далі обчислюємо (при =48+10+42= 100 см)

см²

Отже, і в третій площині треба відігнути 2Ø18 — стержні № 3 і 4, і прольотних стержнів можна відігнути на опору лише 4Ø18, бо стержні № 1 відгинати не можна. Виходить, першу площину відгинів треба,поставивши так звану парну утку № 5, яку, як «немоментну», можна опустити в третій ряд. Стержні № 2, 3 і 4 відсуваємо відповідно у другу і третю площини.

Правильність призначення величини = 10 см перевіряють

см.

Перевіряти і , очевидно, не слід, бо за розрахунком вони будуть, меншими за через зменшення розрахункової поперечної сили в міру віддаленнярозглядуваних перерізів від опори.