Общая система уравнений подземной гидромеханики
Скорость фильтрации
При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.
Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида
Q=`w Fп,(2.1)
где `w – действительная средняя скорость жидкости; Fп – площадь пор.
Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для сред неупорядочной структуры справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно,
Q=`w m F.(2.2)
Величина
u= `w m(2.3)
называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так какm<1, то скорость фильтрации всегда меньше средней.
Физический смысл скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором:
· расход через любое сечение равен реальному расходу,
· поле давлений идентично реальному потоку,
· сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления реального потока.
Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (2.3).
Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:
· уравнение неразрывности
; (2.4)
· уравнение сохранения количества движения
. (2.5)
В уравнении (2.5):
· в виду незначительности изменения количества движения во времени первым членом можно пренебречь;
· разница в перетоках количества движения через границы контрольных объёмов также составляют величины второй малости по сравнению со скоростями и, следовательно, вторым членом тоже можно пренебречь;
· силу сопротивления Fcпо аналогии с трубной гидравликой или задачами обтекания можно представить в виде
.
Таким образом, уравнение (2.2) вырождается в следующее
,
то есть, получаем уравнение, линейно связывающее скорость фильтрации с градиентом давления.
Уравнение такого вида широко используется в подземной гидродинамике и носит название уравнения фильтрации в форме Дарси:
, (2.6)
где р*=р+zrg, z – вертикальная координата.
Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившемся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности принимает вид
. (2.7)
В вышеприведенных уравнениях:
;
;
(a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты; i, j, k– единичные векторы по осям декартовой системы координат;eQ , ej , er, ez – по осям сферической системы; Q, j, r и z – по осям цилиндрической системы; в сферических координатах – угол Qопределяет изменение меридианного угла, а угол j– широтного.
Для несжимаемой жидкости (r=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде
. (2.8)
2.3. Закон Дарси (линейный закон фильтрации)